Problema (ITA<\/strong>– Adaptado) Sejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] dois conjuntos com [tex]6[\/tex] e [tex]4[\/tex] elementos, respectivamente. \n<\/div>\n \n Ajuda<\/p>\n Mas talvez seja conveniente relembrar o que \u00e9 o conjunto imagem de uma fun\u00e7\u00e3o e a\u00ed sim definir a sobrejetividade, n\u00e3o \u00e9? \n ✐ <\/span> Uma fun\u00e7\u00e3o [tex] f:A \\rightarrow B [\/tex] \u00e9 sobrejetora se [tex]Im(f)=B[\/tex].<\/strong><\/p>\n<\/div>\n \n Mas vamos esmiu\u00e7ar um pouco mais essa defini\u00e7\u00e3o. ✐ <\/span>Uma fun\u00e7\u00e3o [tex] f:A \\rightarrow B [\/tex] \u00e9 dita sobrejetora<\/strong><\/span> se, para todo [tex]y\\in B[\/tex], existir um [tex]x\\in A[\/tex] tal que [tex]f(x)=y[\/tex]. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Como temos [tex]6[\/tex] elementos no conjunto [tex]A[\/tex], [tex]4[\/tex] elementos no conjunto [tex]B[\/tex] e todo elemento de [tex]B[\/tex] deve ser imagem de pelo menos um elemento de [tex]A[\/tex], vamos determinar para cada elemento de [tex]B[\/tex] quais s\u00e3o os elementos de [tex]A[\/tex] dos quais esse elemento \u00e9 imagem. Para isso, vamos particionar o conjunto [tex]A[\/tex] em quatro subconjuntos n\u00e3o vazios e analisar de quantas maneiras essas parti\u00e7\u00f5es estar\u00e3o associadas a um elemento de [tex]B[\/tex]. \n O que vamos fazer agora \u00e9 contar de quantas maneiras podemos distribuir os seis elementos do conjunto [tex]A[\/tex] em quatro conjuntos, de modo que cada subconjunto tenha pelo menos um elemento. Nessa contagem, utilizaremos livremente a f\u00f3rmula de combina\u00e7\u00e3o de [tex]m[\/tex], [tex]n[\/tex] a [tex]n[\/tex]: [tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{C_{6,2}\\times C_{4,2}}{2} = 45[\/tex] maneiras; [tex]\\qquad \\qquad C_{6,3}=20[\/tex] maneiras; Temos, portanto, um total de [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$45+20=65$}[\/tex] maneiras de realizar a parti\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/div>\n \n[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] J\u00e1 temos os seis elementos do conjunto [tex]A[\/tex] agrupados, resta apenas saber qual ser\u00e1 a imagem dos elementos de cada subconjunto. Assim, como devemos fazer os dois procedimentos: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (ITA– Adaptado) Sejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] dois conjuntos com [tex]6[\/tex] e [tex]4[\/tex] elementos, respectivamente. Quantas fun\u00e7\u00f5es sobrejetivas [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] existem? Ajuda Pelo enunciado do problema, facilmente percebemos que \u00e9 necess\u00e1rio sabermos o que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o sobrejetora, n\u00e3o \u00e9? Poder\u00edamos dizer, simplesmente, que: Uma fun\u00e7\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nQuantas fun\u00e7\u00f5es sobrejetivas [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] existem?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
\nPelo enunciado do problema, facilmente percebemos que \u00e9 necess\u00e1rio sabermos o que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o sobrejetora, n\u00e3o \u00e9?
\nPoder\u00edamos dizer, simplesmente, que: <\/p>\n\n
\nEnt\u00e3o, vamos l\u00e1!<\/p>\n
\n\u00c9 usual definirmos como imagem da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]<\/strong><\/span> o conjunto formado pelos elementos de [tex]B[\/tex] que s\u00e3o imagens de algum elemento de [tex]A[\/tex]. Esse conjunto \u00e9 indicado por [tex]Im(f)[\/tex]; assim:
\n[tex]\\qquad \\qquad Im(f)=\\{y=f(x)\\text{ tais que } x\\in A \\}[\/tex]
\ne, dado [tex]x \\in A[\/tex], o elemento \u00fanico [tex]y \\in B[\/tex] tal que [tex]y=f(x)[\/tex] \u00e9 dito a imagem de [tex]x [\/tex] pela [tex]f.[\/tex]<\/p>\n![\"fig040\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig040.png\")
\nA partir dessa defini\u00e7\u00e3o, podemos dizer que:<\/p>\n
\nSabemos que se [tex] f:A \\rightarrow B [\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o e [tex] \\, x \\in A[\/tex], ent\u00e3o a imagem de [tex]x[\/tex] pela [tex]f[\/tex] \u00e9 um elemento de [tex]B[\/tex], isto \u00e9, [tex]y=f(x) \\in B[\/tex]. Com isso, SEMPRE <\/strong>temos a inclus\u00e3o [tex]Im(f) \\subset B[\/tex], conforme sugere a figura acima, independente de [tex]f[\/tex] ser ou n\u00e3o sobrejetora.
\nEnt\u00e3o a condi\u00e7\u00e3o essencial que caracteriza uma fun\u00e7\u00e3o sobrejetora \u00e9 a de que cada elemento do contradom\u00ednio [tex]B[\/tex] seja imagem de pelo menos um elemento do dom\u00ednio<\/strong>. Assim podemos tamb\u00e9m dizer que:<\/p>\n
\nEm s\u00edmbolos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\forall \\, y\\in B, \\exists \\, x\\in A[\/tex] tal que [tex]y=f(x)[\/tex]. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\nA ideia \u00e9, primeiramente, separar os elementos de [tex]A[\/tex] que ter\u00e3o a mesma imagem e, em seguida, definir qual ser\u00e1 essa imagem.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/sobrej.png\")
\n<\/p>\n
\nObserve que temos as seguintes formas de realizar a parti\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad C_{m,n}=\\dfrac{m!}{n!(m-n)!}[\/tex]<\/p>\n\n
\npois, definindo quais s\u00e3o os dois conjuntos de dois elementos, os demais conjuntos ficam estabelecidos.<\/p>\n
\npois, definindo o conjunto de tr\u00eas elementos, os demais conjuntos ficam estabelecidos.<\/ul>\n
\nPerceba que, para cada parti\u00e7\u00e3o, temos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$4!=24$}[\/tex] maneiras de associar cada conjunto da parti\u00e7\u00e3o a um, e somente um, dos quatro elementos de [tex]B[\/tex].<\/p>\n
\n– agrupar os seis elementos de [tex]A[\/tex] em quatro subconjuntos e
\n– associar uma imagem a cada subconjunto da parti\u00e7\u00e3o,
\no Princ\u00edpio Fundamental da Contagem (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, clique AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span > nos garante que o total de fun\u00e7\u00f5es sobrejetivas [tex]f:A\\rightarrow B[\/tex] \u00e9 dado por [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$65\\times 24=1560$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n