{"id":111260,"date":"2018-09-05T00:32:31","date_gmt":"2018-09-05T03:32:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=111260"},"modified":"2023-05-04T17:14:42","modified_gmt":"2023-05-04T20:14:42","slug":"problemao-cilindro-dividido","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-cilindro-dividido\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Cilindro Dividido"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

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(Problema adaptado de Olimp\u00edada Americana<\/strong>) Um cilindro circular reto de isopor com raio da base medindo [tex]2\\ cm[\/tex] e altura [tex]2 \\sqrt{2}\\ cm[\/tex] foi seccionado por um plano que o dividiu ao meio de forma que os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] foram marcados na circunfer\u00eancia de uma das bases e os pontos [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] foram marcados na face oposta conforme figura. Sabe-se que o arco menor que passa por [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 de [tex]120^\\circ[\/tex] (ver figura), bem como o arco menor que passa por [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex]. <\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Determine a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo formado na sec\u00e7\u00e3o do cilindro quando ligamos os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex], [tex]D[\/tex] por segmentos de reta.\n<\/p><\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Inicialmente, vamos calcular a medida do lado [tex]AB[\/tex] do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex]. Para isso, seja [tex]O[\/tex] o centro da circunfer\u00eancia na qual os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] foram marcados, conforme mostra a figura a seguir.<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Aplicando a Lei dos Cossenos no tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex] e sabendo que o arco menor que passa por [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 de [tex]120^\\circ[\/tex], vem que:
\n [tex]\\qquad (AB)^2=2^2+2^2-2\\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot cos 120^\\circ [\/tex]
\n[tex]\\qquad (AB)^2=8-8\\cdot \\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) [\/tex]
\n[tex]\\qquad (AB)^2=12[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$AB=2\\sqrt{3} \\, cm$} \\, ,[\/tex] uma vez que a medida do segmento [tex]AB[\/tex] \u00e9 positiva.<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Para determinar a medida do lado [tex]BC[\/tex] do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex], tomemos [tex]C\u2019[\/tex] e [tex]D\u2019[\/tex], proje\u00e7\u00f5es de [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], respectivamente, sobre a circunfer\u00eancia que cont\u00e9m [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex].
\nObserve a figura abaixo e perceba que, como o arco menor que passa por [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 de [tex]120^\\circ[\/tex], o \u00e2ngulo [tex]B\\hat{O}A[\/tex] mede [tex]120^\\circ[\/tex] e, com isso, a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{O}C'[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\boxed{180^\\circ-120^\\circ=60^\\circ}.[\/tex]
\nComo [tex]OB=OC’=2[\/tex] e a medida de [tex]B\\hat{O}C'[\/tex] \u00e9 [tex]60^\\circ[\/tex], o tri\u00e2ngulo [tex]OBC\u2019[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero de lado [tex]2[\/tex].<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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A medida de [tex]BC[\/tex] \u00e9 obtida utilizando-se o Teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]BCC\u2019[\/tex]. Veja:
\n[tex]\\qquad (BC)^2=2^2+(2\\sqrt{2})^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad (BC)^2=4+8 [\/tex]
\n[tex]\\qquad (BC)^2=12 [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$(BC)=2\\sqrt{3}\\ cm$} \\, .[\/tex] <\/p>\n

Finalmente, a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(AB)\\cdot(BC)=2\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}=12 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Problema adaptado de Olimp\u00edada Americana) Um cilindro circular reto de isopor com raio da base medindo [tex]2\\ cm[\/tex] e altura [tex]2 \\sqrt{2}\\ cm[\/tex] foi seccionado por um plano que o dividiu ao meio de forma que os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] foram marcados na circunfer\u00eancia … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-111260","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111260","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=111260"}],"version-history":[{"count":48,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111260\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188813,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/111260\/revisions\/188813"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=111260"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}