{"id":111257,"date":"2018-09-23T19:26:40","date_gmt":"2018-09-23T22:26:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=111257"},"modified":"2023-05-09T04:35:02","modified_gmt":"2023-05-09T07:35:02","slug":"problemao-quatro-quadrados","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-quatro-quadrados\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Quatro quadrados"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:24px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>POTI &#8211; Curso de Geometria &#8211; N\u00edvel 2<\/strong>) Quatro quadrados s\u00e3o constru\u00eddos exteriormente nos lados de um paralelogramo.<br \/>\nMostre que os centros destes quadrados tamb\u00e9m formam um quadrado.\n<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembrete<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Conceitos simples de geometria podem ser de grande utilidade para demonstrar propriedades importantes e\/ou interessantes, como na quest\u00e3o aqui proposta.<br \/>\nNesta quest\u00e3o, pode ser valioso utilizar <strong>congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos<\/strong>. Para saber um pouco mais acerca desse conte\u00fado, visitem a p\u00e1gina do Blog dos Clubes de Matem\u00e1tica <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_024-um-pouco-sobre-congruencia-de-triangulos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Um pouco sobre congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Sabemos que, em um paralelogramo:<br \/>\n&#8211; os lados opostos s\u00e3o congruentes,<br \/>\n&#8211; os \u00e2ngulos opostos s\u00e3o congruentes<br \/>\n&#8211; e ainda dois \u00e2ngulos adjacentes s\u00e3o suplementares.<br \/>\nAssim, podemos representar um paralelogramo gen\u00e9rico e seus \u00e2ngulos da seguinte forma, supondo [tex]\\alpha[\/tex] a medida em graus de um de seus \u00e2ngulos:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/figura1.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"464\" height=\"183\" class=\"aligncenter size-full wp-image-110836\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/figura1.png 464w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/figura1-300x118.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 464px) 100vw, 464px\" \/><\/p>\n<p>Seja [tex]ABCD[\/tex] um paralelogramo. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Construindo quatro quadrados exteriormente aos lados do paralelogramo [tex]ABCD[\/tex], obtemos uma figura como a mostrada a seguir.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S02.png\" alt=\"\" style=\"border:none;\" width=\"601\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111230\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S02.png 601w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S02-282x300.png 282w\" sizes=\"auto, (max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:-15px\">\n<p>Queremos mostrar que os centros desses quadrados tamb\u00e9m formam um quadrado. Sejam, ent\u00e3o, [tex]M \\, ,N \\, ,O \\, ,P \\, [\/tex] os centros desses quadrados e considere o quadril\u00e1tero [tex]MNOP \\, [\/tex], conforme ilustrado na figura seguinte.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S03.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"596\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111231\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S03.png 596w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S03-279x300.png 279w\" sizes=\"auto, (max-width: 596px) 100vw, 596px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(3)}[\/tex] Vamos construir os tri\u00e2ngulos [tex]MBP[\/tex] e [tex]NAM[\/tex]. Note que dois dos lados desses dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o definidos por metades das diagonais de quadrados constru\u00eddos em [tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex]: especificamente, um dos dois quadrados maiores e um dos menores. Na figura abaixo, indicamos os comprimentos das semidiagonais maiores por [tex] \\dfrac{D}{2}[\/tex] e os das semidiagonais menores por [tex] \\dfrac{d}{2} \\, .[\/tex] <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S04.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"597\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111232\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S04.png 597w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S04-280x300.png 280w\" sizes=\"auto, (max-width: 597px) 100vw, 597px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(4)}[\/tex] Vamos agora analisar os tri\u00e2ngulos [tex]MBP[\/tex] e [tex]NAM[\/tex].<br \/>\nUtilizando a propriedade dos \u00e2ngulos do paralelogramo explicitada em  [tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] e tamb\u00e9m  o fato de que a diagonal de um quadrado tamb\u00e9m \u00e9 a bissetriz de um \u00e2ngulo reto, podemos concluir que:<\/p>\n<ul>\n<li>a medida do \u00e2ngulo [tex]M\\hat{B}P[\/tex] \u00e9:<br \/>\n [tex]\\quad 45^\\circ+\\left(180^\\circ-\\alpha\\right)+45^\\circ=\\boxed{270^\\circ-\\alpha} \\, ; [\/tex] <\/li>\n<li>a medida do \u00e2ngulo [tex]N\\hat{A}M[\/tex] \u00e9<br \/>\n [tex]\\quad360^\\circ-\\left(45^\\circ+\\alpha+45^\\circ\\right)=\\boxed{270^\\circ-\\alpha} \\, . [\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, pelo caso de congru\u00eancia <strong>lado-\u00e2ngulo-lado<\/strong>, os tri\u00e2ngulos [tex]MBP[\/tex] e [tex]MAN[\/tex] s\u00e3o congruentes.<br \/>\nCom isso, podemos concluir que [tex]MP=MN \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S05.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"595\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111233\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S05.png 595w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S05-279x300.png 279w\" sizes=\"auto, (max-width: 595px) 100vw, 595px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(5)}[\/tex] Vamos agora mostrar que o \u00e2ngulo [tex]P\\hat{M}N[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto.<br \/>\nPara tal, observemos inicialmente o tri\u00e2ngulo [tex]BMA.[\/tex]<br \/>\nEle \u00e9 is\u00f3sceles com os \u00e2ngulos da base medindo [tex]45^\\circ[\/tex]. Como a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex], ent\u00e3o a medida do \u00e2ngulo  [tex]B\\hat{M}A[\/tex] \u00e9 [tex]90^\\circ \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S06.png\" alt=\"\" width=\"508\" height=\"401\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111252\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S06.png 508w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S06-300x237.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 508px) 100vw, 508px\" \/><\/p>\n<p>Al\u00e9m disso, pela congru\u00eancia dos tri\u00e2ngulos [tex]MBP[\/tex] e [tex]MAN[\/tex], temos as medidas dos \u00e2ngulos [tex]B\\hat{M}P[\/tex] e [tex]A\\hat{M}N[\/tex] iguais. Essa medida  em graus est\u00e1 representada por [tex]\\theta[\/tex] na figura abaixo.<br \/>\nDessa forma, podemos concluir que o \u00e2ngulo [tex]P\\hat{M}N[\/tex] \u00e9 reto, j\u00e1 que sua medida em graus, digamos [tex]\\beta[\/tex], pode ser assim calculada:<br \/>\n[tex] \\qquad \\beta=90^{\\circ}-\\theta+\\theta[\/tex]<br \/>\n[tex] \\qquad \\beta=90^{\\circ}\\cancel{-\\theta}\\cancel{+\\theta}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\beta=90^{\\circ} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S07.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"596\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-111253\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S07.png 596w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/S07-279x300.png 279w\" sizes=\"auto, (max-width: 596px) 100vw, 596px\" \/><\/p>\n<p>Repetindo a mesma constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica com os outros lados, concluiremos que [tex]MN=NO=OP=PM[\/tex] e ainda que os \u00e2ngulos [tex]M\\hat{N}O \\, ; \\, N\\hat{O}P \\, [\/tex] s\u00e3o retos. <span style=\"font-size:11px;\">(A \u00faltima figura pode ajudar nas constru\u00e7\u00f5es.)<\/span><br \/>\nPodemos concluir, ent\u00e3o, que o quadril\u00e1tero [tex]MNOP[\/tex] \u00e9 um quadrado.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/S09.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"693\" height=\"739\" class=\"aligncenter size-full wp-image-113501\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/S09.png 693w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/S09-281x300.png 281w\" sizes=\"auto, (max-width: 693px) 100vw, 693px\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. 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