no lado direito da igualdade temos o produto de n\u00fameros \u00edmpares, o que resulta em um n\u00famero \u00edmpar.<\/li>\n<\/ul>\nAssim, a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} \\, [\/tex], na \u00f3tica da paridade, fica:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\underbrace{x_2+x_1}_{par}=\\underbrace{x_1\\cdot x_2}_{\u00edmpar}[\/tex]
\no que \u00e9 um absurdo, pois um n\u00famero n\u00e3o pode ser simultaneamente par e \u00edmpar.
\nPortanto, a nossa suposi\u00e7\u00e3o de que existem dois n\u00fameros \u00edmpares que satisfa\u00e7am a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] n\u00e3o pode ocorrer<\/strong>!<\/p>\n\n
[tex]\\textcolor{#800000}{(2)} \\, [\/tex]No caso do problema proposto, suponhamos, por absurdo, que existam [tex]2018[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares que satisfa\u00e7am a equa\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+\\cdots+\\dfrac{1}{x_{2018}}=1.\\qquad\\textcolor{#800000}{(iv)}\\\\[\/tex]
\nRealizando a opera\u00e7\u00e3o de soma de fra\u00e7\u00f5es, encontramos:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x_2x_3\\cdots x_{2018}+x_1x_3\\cdots x_{2018}+\\cdots+x_1x_2\\cdots x_{2017}}{x_1\\cdot x_2\\cdots x_{2018}}=1.\\qquad\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<\/p>\n
Veja que a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex] \u00e9 equivalente a:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad x_2x_3\\cdots x_{2018}+x_1x_3\\cdots x_{2018}+\\cdots+x_1x_2\\cdots x_{2017}=x_1\\cdot x_2\\cdots x_{2018}.\\qquad\\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex]<\/p>\n
Vamos, ent\u00e3o, observar a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)} \\, [\/tex]:<\/p>\n
\n- No lado esquerdo da igualdade temos, em cada parcela da soma, um produto de [tex]2017[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares. Da\u00ed resulta que cada parcela da soma \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar. A soma de [tex]2018[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 par. Podemos concluir, dessa forma, que a soma final \u00e9 par<\/strong>.<\/li>\n
- No lado direito da igualdade temos o produto de [tex]2018[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares, tendo como resultado um n\u00famero \u00edmpar<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n
Assim, a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)} \\, [\/tex] na \u00f3tica da paridade fica:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\underbrace{ x_2x_3\\cdots x_{2018}+x_1x_3\\cdots x_{2018}+\\cdots+x_1x_2\\cdots x_{2017}}_{par}=\\underbrace{x_1\\cdot x_2\\cdots x_{2018}}_{\u00edmpar}[\/tex]
\no que \u00e9 um absurdo, pois um n\u00famero n\u00e3o pode ser simultaneamente par e \u00edmpar.
\nPortanto, a nossa suposi\u00e7\u00e3o de que existem [tex]2018[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares que satisfa\u00e7am a equa\u00e7\u00e3o dada no problema n\u00e3o pode ocorrer<\/strong> e, assim, n\u00e3o existem n\u00fameros \u00edmpares [tex]x_1,\\ x_2,\\ \\cdots, x_{2018}[\/tex] tais que <\/p>\n [tex]\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+\\cdots+\\dfrac{1}{x_{2018}}=1 \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nPerceba que a quest\u00e3o pode ser estendida a qualquer n\u00famero par de parcelas. Podemos, ent\u00e3o, reescrever a conclus\u00e3o do problema da seguinte forma:
\nDado um n\u00famero natural [tex]n[\/tex] fixo, \u00e9 imposs\u00edvel obter n\u00fameros inteiros [tex]x_1,\\ x_2,\\ \\cdots, x_{2n}[\/tex], todos \u00edmpares, tais que<\/p>\n
[tex]\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+\\cdots+\\dfrac{1}{x_{2n}}=1[\/tex].<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Mostre que na igualdade abaixo \u00e9 imposs\u00edvel que todos os n\u00fameros [tex]x_1,\\ x_2,\\ \\cdots, x_{2018}[\/tex] sejam \u00edmpares. [tex]\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+\\cdots+\\dfrac{1}{x_{2018}}=1[\/tex]. Lembrete Muitos problemas matem\u00e1ticos podem ser resolvidos com estrat\u00e9gias que utilizam conceitos simples. Um exemplo de tal situa\u00e7\u00e3o \u00e9 este problema: precisamos apenas saber o que s\u00e3o … <\/p>\n
Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":620,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-110971","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/110971","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/620"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=110971"}],"version-history":[{"count":54,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/110971\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188829,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/110971\/revisions\/188829"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=110971"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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