{"id":110931,"date":"2018-09-01T19:42:23","date_gmt":"2018-09-01T22:42:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=110931"},"modified":"2023-05-03T19:14:16","modified_gmt":"2023-05-03T22:14:16","slug":"problemao-sorteio-de-progressoes-aritmeticas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-sorteio-de-progressoes-aritmeticas\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Sorteio de progress\u00f5es aritm\u00e9ticas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere uma urna contendo [tex]10[\/tex] bolas id\u00eanticas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]10[\/tex].<br \/>\nRetirando-se simultaneamente [tex]3[\/tex] bolas desta urna, qual \u00e9 a probabilidade de os n\u00fameros das tr\u00eas bolas retiradas n\u00e3o formarem uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica?\n<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos denotar por [tex]T[\/tex] o n\u00famero total de casos poss\u00edveis (<em>retirar tr\u00eas bolas da urna<\/em>) e por [tex]F[\/tex] o n\u00famero total de casos favor\u00e1veis (<em>as tr\u00eas bolas retiradas n\u00e3o formam uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica<\/em>). Assim, como o espa\u00e7o amostral \u00e9 equiprov\u00e1vel, temos que a probabilidade [tex]P[\/tex] dos n\u00fameros das tr\u00eas bolas retiradas n\u00e3o formarem uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{P=\\frac{F}{T}} \\, .[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Vamos primeiramente calcular [tex]T[\/tex].<br \/>\nObserve que queremos saber o n\u00famero de formas de se escolher [tex]3[\/tex] objetos de um conjunto de [tex]10[\/tex], sendo que a ordem n\u00e3o importa. Assim, vamos calcular o n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es simples de  [tex]10[\/tex], tomados [tex]3[\/tex] a [tex]3[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{T=\\frac{10!}{7! \\, 3!}=120} \\, [\/tex],<br \/>\nou seja, temos [tex]120[\/tex] casos poss\u00edveis.<\/li>\n<li>Vamos calcular agora em quantos desses [tex]120[\/tex] casos os tr\u00eas n\u00fameros formam uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica.  <\/li>\n<p style=\"margin:10px\">\n<ul>\n<li>Temos [tex]8[\/tex] progress\u00f5es aritm\u00e9ticas com raz\u00e3o igual a [tex]1[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad  (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10).[\/tex]<\/li>\n<li>Temos [tex]6[\/tex] progress\u00f5es aritm\u00e9ticas com raz\u00e3o igual a [tex]2[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad  (1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7), (4, 6, 8), (5, 7, 9), (6, 8, 10).[\/tex]<\/li>\n<li>Temos [tex]4[\/tex] progress\u00f5es aritm\u00e9ticas com raz\u00e3o igual a [tex]3[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad  (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (4, 7, 10).[\/tex]<\/li>\n<li>Temos [tex]2[\/tex] progress\u00f5es aritm\u00e9ticas com raz\u00e3o igual a [tex]4[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad  (1, 5, 9), (2, 6, 10).[\/tex]<\/li>\n<li>Para os n\u00fameros em quest\u00e3o, n\u00e3o existem tr\u00eas em progress\u00e3o aritm\u00e9tica com raz\u00e3o maior do que [tex]4[\/tex]. Com efeito, como o primeiro menor termo \u00e9 [tex]1[\/tex], o segundo seria maior do que [tex]5[\/tex] e, consequentemente, o terceiro seria maior do que [tex]10[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Temos, portanto, que em [tex]20[\/tex] destes casos os tr\u00eas n\u00fameros formam uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica. [tex] \\textcolor{red}{ \\, ^{(*)}}[\/tex]<br \/>\nAssim, os n\u00fameros n\u00e3o formam progress\u00e3o aritm\u00e9tica em [tex]100[\/tex] dos [tex]120[\/tex] casos totais, ou seja, [tex]\\boxed{F=100} \\, .[\/tex]<\/ul>\n<p style=\"margin: 10px 50px 10px 50px;line-height:20px;\"> [tex] \\textcolor{red}{ \\, ^{(*)}}[\/tex]<span style=\"font-size:12px;\">\u00c9 importante observar que cada conjunto de n\u00fameros que definiu uma progress\u00e3o de raz\u00e3o [tex]r \\gt 0[\/tex] define tamb\u00e9m uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica  com raz\u00e3o igual a [tex]-r[\/tex]. Por exemplo, os conjuntos<br \/>\n [tex]\\qquad \\{1, 2, 3\\}, \\{2, 3, 4\\}, \\{3, 4, 5\\}, \\{4, 5, 6\\}, \\{5, 6, 7\\}, \\{6, 7, 8\\}, \\{7, 8, 9\\}, \\{8, 9, 10\\}[\/tex]<br \/>\nque definiram, respectivamente, as progress\u00f5es<br \/>\n[tex]\\qquad  (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10)[\/tex]<br \/>\ndefinem tamb\u00e9m as progress\u00f5es aritm\u00e9ticas<br \/>\n[tex]\\qquad  (3, 2, 1), (4, 3, 2), (5, 4, 3), (6, 5, 4), (7, 6, 5), (8, 7, 6), (9, 8, 7), (10, 9, 8).[\/tex]<br \/>\nEm cada um dos quatro casos, as progress\u00f5es com raz\u00f5es negativas n\u00e3o foram contadas pois surgem de sorteios que geram progress\u00f5es com raz\u00f5es positivas, e estamos interessados nos sorteios e n\u00e3o nas progress\u00f5es propriamente ditas.<\/span><\/p>\n<p>Desta forma,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad P=\\frac{100}{120}=\\frac{5}{6}\\approx 0,83333&#8230;,[\/tex]<br \/>\nou seja, a probabilidade de os n\u00fameros das tr\u00eas bolas retiradas n\u00e3o formarem uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica \u00e9 de aproximadamente [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$83\\% \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Considere uma urna contendo [tex]10[\/tex] bolas id\u00eanticas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]10[\/tex]. Retirando-se simultaneamente [tex]3[\/tex] bolas desta urna, qual \u00e9 a probabilidade de os n\u00fameros das tr\u00eas bolas retiradas n\u00e3o formarem uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica? 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