\n
Problema [tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1).[\/tex] <\/p>\n (Fonte: Livro Treinamento CONE SUL 2007)<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Dessa forma, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], conclu\u00edmos que Finalizando, a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o real da equa\u00e7\u00e3o dada no problema \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(a, b)=(1, 1)$}\\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (TESTE BRASIL DE SELE\u00c7\u00c3O PARA CONE SUL 2007) Ache todos os pares [tex](a, b)[\/tex] de n\u00fameros reais que satisfazem a igualdade [tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1).[\/tex] (Fonte: Livro Treinamento CONE SUL 2007) Solu\u00e7\u00e3o Efetuando as multiplica\u00e7\u00f5es entre os elementos dos par\u00eanteses da equa\u00e7\u00e3o [tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)[\/tex], obtemos: [tex]\\qquad 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)=(ab+a+b+1)(ab+1).[\/tex] Podemos simplificar … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(TESTE BRASIL DE SELE\u00c7\u00c3O PARA CONE SUL 2007<\/strong>) Ache todos os pares [tex](a, b)[\/tex] de n\u00fameros reais que satisfazem a igualdade<\/p>\n
\nEfetuando as multiplica\u00e7\u00f5es entre os elementos dos par\u00eanteses da equa\u00e7\u00e3o [tex]2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)=(ab+a+b+1)(ab+1).[\/tex]
\nPodemos simplificar e organizar essa equa\u00e7\u00e3o e reescrev\u00ea-la como
\n[tex]\\qquad a^2(b^2-b+2)-a(b^2+2b+1)+(2b^2-b+1)=0 .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nObserve, com aten\u00e7\u00e3o, que podemos interpretar [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] como uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau na inc\u00f3gnita [tex]a[\/tex], para cada valor fixo de [tex]b[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\underbrace {(b^2-b+2)}_{\\text{constante}}a^2-\\underbrace {(b^2+2b+1)}_{\\text{constante}}a+\\underbrace {(2b^2-b+1)}_{\\text{constante}}=0\\, [\/tex],
\nassim, para que a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] admita ra\u00edzes reais, \u00e9 necess\u00e1rio que seu discriminante [tex]\\Delta[\/tex] seja maior ou igual a zero. Vamos, ent\u00e3o, calcular [tex]\\Delta[\/tex], analisar [tex]\\Delta[\/tex] e impor a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]\\Delta \\ge 0\\, .[\/tex] Vejamos.
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Note que
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}\\Delta &= [(b^2+2b+1)]^2-4(b^2-b+2)(2b^2-b+1)\\\\
\n&=-7b^4+16b^3-18b^2+16b-7\\\\
\n&=-\\left(7b^4-16b^3+18b^2-16b+7\\right)\\\\
\n&=-\\left[7b^4-\\left(2b^3+14b^3\\right)+\\left(7b^2+4b^2+7b^2\\right)-\\left(14b+2b\\right)+7\\right]\\\\
\n&=-\\left[\\left(7b^4-2b^3+7b^2\\right)-\\left(14b^3-4b^2+14b\\right)+\\left(7b^2-2b+7\\right)\\right]\\\\
\n&=-\\left[b^2\\left(7b^2-2b+7\\right)-2b\\left(7b^2-2b+7\\right)+1\\left(7b^2-2b+7\\right)\\right]\\\\
\n&=-\\left[\\left(b^2-2b+1\\right)\\cdot \\left(7b^2-2b+7\\right)\\right]\\\\
\n\\end{align*}[\/tex];
\ne, assim, [tex]\\boxed{\\Delta =-(b-1)^2(7b^2-2b+7)}[\/tex], para cada [tex]b \\in \\mathbb{R}.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Perceba, agora, que:<\/p>\n\n
\n [tex]\\qquad \\Delta_b=(-2)^2-4\\cdot 7\\cdot 7=-192\\lt 0\\, .[\/tex]
\nAssim, como [tex]7\\gt 0[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{7b^2-2b+7\\gt 0}\\, [\/tex], para todo [tex]b \\in \\mathbb{R}.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad \\Delta =-(b-1)^2(7b^2-2b+7) \\le 0,\\, \\, \\forall b \\in \\mathbb{R}.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(3)}[\/tex] Como para todo n\u00famero real [tex]b[\/tex] temos [tex]\\Delta \\le 0\\, [\/tex], para que a equa\u00e7\u00e3o dada no problema tenha solu\u00e7\u00f5es reais, precisamos, em particular, que [tex]a[\/tex] seja real; portanto, devemos necessariamente ter [tex]\\Delta=0[\/tex].
\nE como [tex]7b^2-2b+7\\gt 0\\, [\/tex], necessariamente temos [tex]-(b-1)^2=0[\/tex], e, com isso:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad a^2(b^2-b+2)-a(b^2+2b+1)+(2b^2-b+1)=2a^2-4a+2=2(a-1)^2=0[\/tex],
\nou seja, [tex]a=1[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
\n