\n
Problema (Fonte: Problemas Selecionados de Matem\u00e1tica IME-ITA-Olimp\u00edadas)<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Espanha [tex]2006[\/tex]) Um n\u00famero positivo [tex]x[\/tex] \u00e9 tal que [tex]x^2+\\dfrac{1}{x^2}=7[\/tex]. Mostre que [tex]x^5+\\dfrac{1}{x^5}[\/tex] \u00e9 um inteiro e calcule seu valor. (Fonte: Problemas Selecionados de Matem\u00e1tica IME-ITA-Olimp\u00edadas) Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]x[\/tex] um n\u00famero positivo tal que [tex]\\boxed{x^2+\\dfrac{1}{x^2}=7} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Fa\u00e7amos [tex]x+\\dfrac{1}{x}=a[\/tex]. Elevando ambos os membros … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(Espanha [tex]2006[\/tex]<\/strong>) Um n\u00famero positivo [tex]x[\/tex] \u00e9 tal que [tex]x^2+\\dfrac{1}{x^2}=7[\/tex].
\nMostre que [tex]x^5+\\dfrac{1}{x^5}[\/tex] \u00e9 um inteiro e calcule seu valor. <\/p>\n
\nSeja [tex]x[\/tex] um n\u00famero positivo tal que [tex]\\boxed{x^2+\\dfrac{1}{x^2}=7} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nFa\u00e7amos [tex]x+\\dfrac{1}{x}=a[\/tex]. Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos:
\n[tex]\\qquad x^2+2+\\dfrac{1}{x^2}=a^2[\/tex],
\nou, ainda,
\n[tex]\\qquad a^2-2=x^2+\\dfrac{1}{x^2}=7[\/tex].
\nAssim, [tex]a^2=9[\/tex] e, portanto, [tex]a=3[\/tex], pois [tex]a \\, [\/tex] \u00e9 positivo.
\nDesta forma, temos [tex]\\boxed{x+\\dfrac{1}{x}=3} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nElevando ao cubo os dois lados da igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\left(x+\\dfrac{1}{x}\\right)^3=(3)^3[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^3+3x+\\dfrac{3}{x}+\\dfrac{1}{x^3}=27[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^3+\\dfrac{1}{x^3}=27-3\\left(x+\\dfrac{1}{x}\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^3+\\dfrac{1}{x^3}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}27-3 \\cdot 3[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{x^3+\\dfrac{1}{x^3}=18} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nAgora, observe que, de [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(i)} \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\left(x^2+\\dfrac{1}{x^2}\\right)\\times \\left(x^3+\\dfrac{1}{x^3}\\right)=7 \\times 18\\\\
\n \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^5+x+\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{x^5}=126[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^5+\\dfrac{1}{x^5}=126-\\left(x+\\dfrac{1}{x}\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad x^5+\\dfrac{1}{x^5}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}126-3[\/tex],
\ndonde finalizamos, obtendo que [tex] \\, \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x^5+\\dfrac{1}{x^5}=123$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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