Problema \n<\/div>\n \n Lembretes e nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n (1)<\/strong><\/span> Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Todo polin\u00f4mio de grau [tex]n[\/tex], [tex]n \\geqslant 1 \\, [\/tex], \n (2)<\/strong><\/span> Teorema do resto:<\/strong> O resto da divis\u00e3o do polin\u00f4mio [tex]Q(x)[\/tex] por [tex]x-a[\/tex] \u00e9 o valor num\u00e9rico de [tex]Q(x)[\/tex] para [tex]x=a[\/tex], ou seja, [tex]Q(a).[\/tex]<\/p>\n \n (3)<\/strong><\/span> Se um polin\u00f4mio possui todos os coeficientes reais e [tex]a+bi[\/tex] \u00e9 uma raiz desse polin\u00f4mio, ent\u00e3o [tex]a-bi[\/tex] tamb\u00e9m o \u00e9.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n assim, [tex]-2,\\ 1-\\alpha i[\/tex] e [tex]1+\\alpha i[\/tex] s\u00e3o as <\/strong> ra\u00edzes de [tex]p(x)[\/tex]. Com isso, pelo Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong>, segue que: \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Os coeficientes [tex]a,\\ b[\/tex] e [tex]c[\/tex] do polin\u00f4mio [tex]p(x)=x^3+ax^2+bx+c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais. Sabendo que [tex]-2[\/tex] e [tex]1-\\alpha i[\/tex], com [tex]\\alpha\\in\\mathbb{R}[\/tex], s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]p(x)=0[\/tex] e que o resto da divis\u00e3o de [tex]p(x)[\/tex] por [tex](x+1)[\/tex] \u00e9 [tex]13[\/tex], determine [tex]p(x).[\/tex] Lembretes e nota\u00e7\u00e3o (1) Teorema da … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nOs coeficientes [tex]a,\\ b[\/tex] e [tex]c[\/tex] do polin\u00f4mio [tex]p(x)=x^3+ax^2+bx+c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais.
\nSabendo que [tex]-2[\/tex] e [tex]1-\\alpha i[\/tex], com [tex]\\alpha\\in\\mathbb{R}[\/tex], s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]p(x)=0[\/tex] e que o resto da divis\u00e3o de [tex]p(x)[\/tex] por [tex](x+1)[\/tex] \u00e9 [tex]13[\/tex], determine [tex]p(x).[\/tex]<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\dots+a_1x+a_0, \\ \\ \\ a_n\\neq0,[\/tex]
\ncom coeficientes [tex]a_0,a_1, \\dots, a_n[\/tex] complexos, pode ser fatorado na forma
\n[tex]\\qquad \\qquad P(x)=a_n(x-x_0)^{m_0}(x-x_1)^{m_1}\\dots(x-x_r)^{m_r} \\, [\/tex],
\nonde [tex]x_0, \\, x_1, \\, \\dots \\, , \\, x_r[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros complexos distintos e [tex]m_0, \\, m_1, \\, \\dots \\, , \\, m_r[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]m_0+m_1+\\dots+m_r=n.[\/tex] Neste caso, o conjunto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o polinomial [tex]P(x)= 0[\/tex] \u00e9 dado por [tex]\\{x_0, x_1, \\dots, x_r\\}[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span><\/p>\n
\nObserve que <\/p>\n
\n ►<\/span> [tex]-2 [\/tex] e [tex]1-\\alpha i[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes de [tex]p(x)[\/tex],
\n ►<\/span> [tex]p(x)[\/tex] \u00e9 um polin\u00f4mio de grau [tex]3[\/tex],\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad p(x)=(x+2)(x-(1-\\alpha i))(x-(1+\\alpha i))[\/tex]
\n[tex]\\qquad p(x)=(x+2)(x^2-2x+1+\\alpha^2) .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPor outro lado, o Teorema do resto<\/strong> garante que o resto da divis\u00e3o de [tex]p(x)[\/tex] por [tex]x-(-1)[\/tex] \u00e9 [tex]p(-1)[\/tex]; assim, da hip\u00f3tese de que esse resto \u00e9 [tex]13[\/tex], temos que [tex]p(-1)=13[\/tex]. Ent\u00e3o, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
\n[tex]\\qquad p(-1)=13[\/tex]
\n[tex]\\qquad (-1+2)((-1)^2-2(-1)+1+\\alpha^2)=13[\/tex]
\n[tex]\\qquad (4+\\alpha^2)=13[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\alpha^2=9[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\alpha=\\pm 3[\/tex].
\nPortanto, podemos concluir que [tex]p(x)=(x+2)(x^2-2x+10)[\/tex], ou seja, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p(x)=x^3+6x+20$} \\, .[\/tex]
\nSala para Leitura:Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n