{"id":110715,"date":"2018-08-30T19:22:07","date_gmt":"2018-08-30T22:22:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=110715"},"modified":"2023-05-03T19:22:17","modified_gmt":"2023-05-03T22:22:17","slug":"problema-quadrilatero","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-quadrilatero\/","title":{"rendered":".Problema:  Quadril\u00e1tero IV"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:24px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDois lados consecutivos de um quadril\u00e1tero circunscrito a um c\u00edrculo medem [tex]7\\ cm[\/tex]  e [tex]5\\ cm[\/tex]. Calcule a medida dos outros dois lados sabendo que o per\u00edmetro mede [tex]26\\ cm[\/tex].\n<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembrete<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Para solu\u00e7\u00e3o deste problema, utilizaremos a seguinte propriedade de tangentes a uma circunfer\u00eancia:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Se de um ponto [tex]P[\/tex] conduzirmos os segmentos [tex]\\overline{PG}[\/tex] e  [tex]\\overline{PH}[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia, sendo [tex]G[\/tex] e [tex]H[\/tex] pontos da circunfer\u00eancia, ent\u00e3o [tex]\\overline{PG}[\/tex] e  [tex]\\overline{PH}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara acompanhar o nosso racioc\u00ednio, observe o quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] abaixo, circunscrito a um c\u00edrculo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q1.png\" alt=\"\" width=\"338\" height=\"400\"  style=\"border:none\"  class=\"aligncenter size-full wp-image-110726\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q1.png 338w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q1-254x300.png 254w\" sizes=\"auto, (max-width: 338px) 100vw, 338px\" \/><\/p>\n<p>Considere que [tex]R \\, [\/tex] e [tex]S \\, [\/tex] s\u00e3o os pontos de tang\u00eancia definidos respectivamente pelos segmentos [tex]\\overline{AB} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AD} \\, .[\/tex] Utilizando a propriedade do <strong>Lembrete<\/strong>, os segmentos [tex]\\overline{AR} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AS} \\, [\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento, digamos [tex]x \\, [\/tex] cent\u00edmetros, conforme ilustra a pr\u00f3xima figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"338\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-110730\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q2.png 338w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q2-254x300.png 254w\" sizes=\"auto, (max-width: 338px) 100vw, 338px\" \/><\/p>\n<p>Utilizando a mesma propriedade citada no <strong>Lembrete<\/strong>, se [tex]U \\, [\/tex] e [tex]V \\, [\/tex] s\u00e3o respectivamente os pontos de tang\u00eancia definidos pelos segmentos [tex]\\overline{CB} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{CD} \\, [\/tex], ent\u00e3o j\u00e1 temos os comprimentos dos segmentos [tex]\\overline{BU} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{DV} \\, [\/tex], conforme mostra a pr\u00f3xima figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q3.png\" alt=\"\" width=\"336\" height=\"400\"  style=\"border:none\" class=\"aligncenter size-full wp-image-110732\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q3.png 336w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q3-252x300.png 252w\" sizes=\"auto, (max-width: 336px) 100vw, 336px\" \/><\/p>\n<p>Usando a propriedade do <strong>Lembrete<\/strong>, mais uma vez, os segmentos [tex]\\overline{UC} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{VC} \\, [\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento, digamos [tex]a \\, [\/tex] cent\u00edmetros.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q4.png\" alt=\"\" width=\"426\" height=\"500\"  style=\"border:none\" class=\"aligncenter size-full wp-image-110734\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q4.png 426w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/Q4-256x300.png 256w\" sizes=\"auto, (max-width: 426px) 100vw, 426px\" \/><\/p>\n<p>Sabemos que o per\u00edmetro do quadril\u00e1tero \u00e9 [tex]26 \\, cm[\/tex], assim:<br \/>\n[tex]\\qquad 5+7+(7-x+a)+(a+5-x)=26[\/tex],<br \/>\ndonde [tex] 2a-2x=2[\/tex], ou ainda, [tex]\\, a-x=1[\/tex].<br \/>\nComo os valores das medidas dos lados que queremos descobrir s\u00e3o dados por [tex]\\boxed{l_1=7-x+a} \\,  \\, [\/tex] e [tex] \\,  \\, \\boxed{l_2=5-x+a}[\/tex] tem-se que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$l_1=7+a-x=7+1=8 \\, cm$} \\, \\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$l_2=5+a-x=5+1=6 \\, cm$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dois lados consecutivos de um quadril\u00e1tero circunscrito a um c\u00edrculo medem [tex]7\\ cm[\/tex] e [tex]5\\ cm[\/tex]. Calcule a medida dos outros dois lados sabendo que o per\u00edmetro mede [tex]26\\ cm[\/tex]. 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