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Problema \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube ZOM\u00c1TICA<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (1) O que \u00e9 maior: a soma de todos os n\u00fameros pares de 0 a 100 ou a soma de todos os n\u00fameros \u00edmpares de 1 a 99? (2) Qual a diferen\u00e7a das duas somas? Solu\u00e7\u00e3o A adi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros pares de [tex]0[\/tex] a [tex]100[\/tex], … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(1) O que \u00e9 maior: a soma de todos os n\u00fameros pares de 0 a 100<\/strong> ou a soma de todos os n\u00fameros \u00edmpares de 1 a 99<\/strong>?
\n(2) Qual a diferen\u00e7a das duas somas<\/strong>?\n<\/div>\n
\nA adi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros pares de [tex]0[\/tex] a [tex]100[\/tex], que indicaremos por [tex]P[\/tex], tem [tex]50[\/tex] parcelas, pois podemos desprezar o zero:
\n[tex]\\qquad P=0+2+4+6+\\cdots+98+100=2+4+6+\\cdots+98+100.[\/tex]
\nJ\u00e1 a adi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros \u00edmpares, que indicaremos por [tex]I[\/tex], \u00e9 outra adi\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m com [tex]50[\/tex] parcelas:
\n[tex]\\qquad I=1+3+5+7+\\cdots+97+99.[\/tex]
\nEntretanto, cada parcela par leva vantagem de [tex]1[\/tex] unidade sobre a correspondente \u00edmpar, por exemplo, o [tex]2[\/tex] excede o [tex]1[\/tex] em uma unidade, o [tex]4[\/tex] excede o [tex]3[\/tex] em uma unidade e assim sucessivamente:
\n[tex]\\qquad P=2+4+6+\\cdots+98+100\\\\
\n\\qquad P=[1+1]+[3+1]+[5+1]+\\cdots +[97+1]+[99+1]\\,.[\/tex]
\nEnt\u00e3o, teremos [tex]50[\/tex] unidades de diferen\u00e7a no resultado final, de acordo com os c\u00e1lculos a seguir:
\n[tex]\\qquad P=[1+3+5+7+\\cdots+97+99]+\\underbrace{[1+1+\\cdots+1]}_{50\\,\\, vezes}.\\qquad [\/tex](*)<\/strong><\/span>
\nPortanto, [tex]P=I+50[\/tex] e, deste modo, a soma de todos os n\u00fameros pares de [tex]0[\/tex] a [tex]100[\/tex] \u00e9 maior que a soma de todos os n\u00fameros \u00edmpares de [tex]1[\/tex] a [tex]99[\/tex], sendo a diferen\u00e7a entre as somas de [tex]50[\/tex].
\n(*)<\/strong><\/span> Observe que podemos verificar que a soma [tex]P[\/tex] tem 50 parcelas, escrevendo-a de uma maneira diferente:
\n[tex]\\quad P=2+4+6+\\cdots+98+100\\\\
\n\\quad P=(2\\times\\underline{1}_{})+(2\\times\\underline{2}_{})+(2\\times\\underline{3}_{})+\\cdots+(2\\times\\underline{49}_{})+(2\\times\\underline{50}_{})\\,.[\/tex]<\/p>\n
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