{"id":109994,"date":"2018-08-20T14:48:28","date_gmt":"2018-08-20T17:48:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=109994"},"modified":"2024-06-02T04:39:16","modified_gmt":"2024-06-02T07:39:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-consecutivos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-consecutivos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros consecutivos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219653\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Quantos n\u00fameros naturais menores do que [tex]2018[\/tex] satisfazem simultaneamente \u00e0s propriedades abaixo?<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> S\u00e3o soma de dois n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos.<br \/>\n<strong>(2)<\/strong> S\u00e3o soma de cinco n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:26px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(I)<\/strong> Vamos analisar o que podemos afirmar sobre a forma de um n\u00famero natural que satisfaz \u00e0s propriedades <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>.<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural que satisfaz \u00e0 propriedade <strong>(1)<\/strong>, ent\u00e3o existe um n\u00famero natural n\u00e3o nulo  [tex]n[\/tex] tal que<br \/>\n[tex]\\qquad x=n+(n+1)=2n+1 \\, .[\/tex]<br \/>\nAssim, [tex]\\boxed{x=2n+1} \\, [\/tex], para [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural tal que [tex]n \\geqslant 1 \\, .  [\/tex]<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{\\rhd}[\/tex] Com isso, temos que [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar tal que [tex]x\\geqslant 3 \\, .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]\n<\/li>\n<li>Se [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural que satisfaz \u00e0 propriedade <strong>(2)<\/strong>, ent\u00e3o existe um n\u00famero natural n\u00e3o nulo  [tex]m[\/tex] tal que<br \/>\n[tex]\\qquad x=m+(m+1)+(m+2)+(m+3)+(m+4)=5m+10=5(m+2) \\, .[\/tex]<br \/>\nLogo, [tex]\\boxed{x=5k} \\, [\/tex], para [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural tal que [tex]k \\geqslant 3 \\, .[\/tex]<br \/>\n\t[tex]\\textcolor{#800000}{\\rhd}[\/tex] Com isso, temos que [tex]x[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] tal que [tex]x\\geqslant 15 \\, .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, se um n\u00famero natural [tex]x[\/tex] satisfaz simultaneamente \u00e0s propriedades <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex], temos que [tex]x[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo \u00edmpar de [tex]5[\/tex] maior do que ou igual a [tex]15 \\, [\/tex]. Portanto, segue que: <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\boxed{x=5(2t+1)} \\, [\/tex], com [tex]t \\, [\/tex] um n\u00famero natural tal que [tex]t\\geqslant 1 \\, .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(II)<\/strong> Verificaremos agora que todo n\u00famero natural [tex]x[\/tex] da forma estipulada em [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] satisfaz \u00e0s propriedades <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>.<br \/>\nCom efeito, se [tex]x=5(2t+1)[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]x=\\dfrac{x-1}{2}+\\left(\\dfrac{x-1}{2}+1\\right)[\/tex]<\/li>\n<p>e as parcelas da soma s\u00e3o n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos, pois [tex]x[\/tex] \u00e9 \u00edmpar. <\/ul>\n<ul>\n<li>[tex]x=\\left(\\dfrac{x}{5}-2\\right) +\\left(\\dfrac{x}{5}-1\\right) +\\dfrac{x}{5}+\\left(\\dfrac{x}{5}+1\\right)+\\left(\\dfrac{x}{5}+2\\right)[\/tex]<\/li>\n<p>e as parcelas da soma s\u00e3o n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos, pois [tex]x[\/tex] \u00e9 \u00edmpar. <\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p>Seja, ent\u00e3o, [tex]x[\/tex] um n\u00famero natural menor do que [tex]2018[\/tex] e que satisfaz simultaneamente \u00e0s propriedades <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>. Assim, por [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} \\, [\/tex], existe um n\u00famero natural [tex]t\\geqslant 1 \\, [\/tex] tal que [tex]x=5(2t+1)\\lt 2018[\/tex], logo, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 5(2t+1)\\lt 2018[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 10t+5 \\lt 2018[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 10t \\lt 2013[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad t \\lt 201,3 \\, .[\/tex]<br \/>\nMas, [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, logo [tex]\\boxed{1 \\leqslant t \\leqslant 201} \\, .[\/tex]<br \/>\nComo cada valor de [tex]t[\/tex] define um n\u00famero [tex]x[\/tex] que satisfaz \u00e0s condi\u00e7\u00f5es do problema, consequentemente, existem [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$201$} \\, [\/tex] n\u00fameros naturais menores do que [tex]2018[\/tex] que satisfazem simultaneamente \u00e0s propriedades <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style:dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/N\u00fameros-consecutivos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ N\u00fameros consecutivos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Quantos n\u00fameros naturais menores do que [tex]2018[\/tex] satisfazem simultaneamente \u00e0s propriedades abaixo? (1) S\u00e3o soma de dois n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos. (2) S\u00e3o soma de cinco n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos consecutivos. 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