\n
Problema \n[tex]\\qquad\\qquad\\dfrac{1\\cdot2\\cdot3+2\\cdot4\\cdot6+4\\cdot8\\cdot12+7\\cdot14\\cdot21}{1\\cdot3\\cdot5+2\\cdot6\\cdot10+4\\cdot12\\cdot20+7\\cdot21\\cdot35}[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n \n [tex]\\quad \\quad \\Large E = \\frac{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\,\\,+\\,\\, 2 \\cdot 4 \\cdot (2 \\cdot 3) \\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot 8 \\cdot (3 \\cdot 4) \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot 14 \\cdot (3 \\cdot 7)}{1 \\cdot 3 \\cdot 5 \\,\\,+\\,\\, 2\\cdot (3 \\cdot 2) \\cdot 10 \\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot (3 \\cdot 4) \\cdot 20 \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot (3 \\cdot 7) \\cdot 35}\\,[\/tex].<\/p>\n Assim, dividindo tanto o numerador como o denominador por [tex]3[\/tex] ficamos com<\/p>\n \n[tex]\\quad \\quad \\Large E = \\frac{1 \\cdot 2 \\,\\,+\\,\\, 2 \\cdot 4 \\cdot 2 \\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot 8 \\cdot 4 \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot 14 \\cdot 7}{1 \\cdot 5 \\,\\,+\\,\\, 2\\cdot 2 \\cdot 10 \\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot 4 \\cdot 20 \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot 7 \\cdot 35}\\,[\/tex].\n<\/p>\n Observe, agora, que no numerador todas as parcelas possuem [tex]2[\/tex] como fator e todas as parcelas no denominador possuem o fator [tex]5[\/tex]. Assim, colocando [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] em evid\u00eancia no numerador e no denominador, respectivamente, temos:<\/p>\n \n [tex]\\quad \\quad \\Large E = \\frac{2 \\cdot (1\\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot 2\\,\\,+\\,\\,4 \\cdot 4\\cdot 4 \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot 7 \\cdot 7)}{5\\cdot (1 \\,\\,+\\,\\, 4\\cdot 2 \\,\\,+\\,\\, 4 \\cdot 4 \\cdot 4 \\,\\,+\\,\\, 7 \\cdot 7 \\cdot 7)}[\/tex]<\/p>\n \n e, com isso, temos como resultado [tex]\\Large E = \\frac{2}{5}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube OL\u00cdMPICOS FEDERAIS<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n \n [tex]\\quad \\quad\\dfrac{1\\cdot 2\\cdot 3+2\\cdot 4\\cdot 6+4\\cdot 8\\cdot 12+7\\cdot 14\\cdot 21}{1\\cdot 3\\cdot 5+2\\cdot 6\\cdot 10+4\\cdot 12\\cdot 20+7\\cdot 21\\cdot 35}=\\\\ \n Assim,<\/p>\n \n [tex]\\quad \\quad\\dfrac{1\\cdot 2\\cdot 3+2\\cdot 4\\cdot 6+4\\cdot 8\\cdot 12+7\\cdot 14\\cdot 21}{1\\cdot 3\\cdot 5+2\\cdot 6\\cdot 10+4\\cdot 12\\cdot 20+7\\cdot 21\\cdot 35}=\\dfrac{2}{5}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Sem efetuar as somas e os produtos, simplifique a seguinte fra\u00e7\u00e3o: [tex]\\qquad\\qquad\\dfrac{1\\cdot2\\cdot3+2\\cdot4\\cdot6+4\\cdot8\\cdot12+7\\cdot14\\cdot21}{1\\cdot3\\cdot5+2\\cdot6\\cdot10+4\\cdot12\\cdot20+7\\cdot21\\cdot35}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o 1 Observe que tanto no numerador como no denominador cada parcela possui [tex]3[\/tex] como fator, [tex]\\quad \\quad \\Large E = \\frac{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\,\\,+\\,\\, 2 \\cdot 4 \\cdot (2 \\cdot … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nSem efetuar as somas e os produtos, simplifique a seguinte fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
\nObserve que tanto no numerador como no denominador cada parcela possui [tex]3[\/tex] como fator, <\/p>\n
\n
\nObserve a seguinte sequ\u00eancia de igualdades:<\/p>\n
\n \\qquad \\quad =\\dfrac{1\\cdot 2\\cdot 3+2^3(1\\cdot 2\\cdot 3)+4^3(1\\cdot 2\\cdot 3)+7^3(1\\cdot 2\\cdot 3)}{1\\cdot 3\\cdot 5+2^3(1\\cdot 3\\cdot 5)+4^3(1\\cdot 3\\cdot 5)+7^3(1\\cdot 3\\cdot 5)}=\\\\
\n \\qquad \\quad =\\dfrac{(1\\cdot 2\\cdot 3)(1+2^3+4^3+7^3)}{(1\\cdot 3\\cdot 5)(1+2^3+4^3+7^3)}=\\dfrac{1\\cdot 2\\cdot 3}{1\\cdot 3\\cdot 5}=\\dfrac{2}{5}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n