{"id":108604,"date":"2018-09-01T23:10:15","date_gmt":"2018-09-02T02:10:15","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=108604"},"modified":"2024-06-02T08:53:02","modified_gmt":"2024-06-02T11:53:02","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-divisores-de-um-e-divisores-de-outro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-divisores-de-um-e-divisores-de-outro\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Divisores de um e divisores de outro"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Sejam [tex]\\boxed{ x=4\\cdot 18^n}[\/tex] e [tex] \\boxed{y=18 \\cdot 4^n}[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]n \\in \\mathbb{N}.[\/tex]
\nSe [tex]x[\/tex] tem [tex]88[\/tex] divisores naturais, quantos divisores naturais tem [tex]y[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Ajuda – N\u00famero de divisores<\/p>\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

\n

Se [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo cuja decomposi\u00e7\u00e3o como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9
\n[tex]\\qquad \\qquad m=p_1^{n_1}\\, p_2^{n_2}\\, p_3^{n_3}\\, \\cdots\\, p_r^{n_r}[\/tex],
\nent\u00e3o o n\u00famero de divisores naturais de [tex]m[\/tex] \u00e9
\n[tex]\\quad \\qquad \\quad (n_1+1)\\cdot(n_2+1)\\cdot(n_3+1)\\cdot\\, \\cdots\\, \\cdot(n_r+1)\\,.[\/tex] <\/p>\n

(Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse resultado, clique AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span >\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\nComo
\n[tex]\\qquad x=4\\cdot 18^n=\\left(2^2\\right) \\cdot \\left(2 \\cdot 3^2\\right)^n=2^2 \\cdot 2^n \\cdot 3^{2n}=2^{2+n} \\cdot 3^{2n}[\/tex],
\nent\u00e3o o n\u00famero de divisores de [tex]x[\/tex] \u00e9
\n[tex]\\qquad d=((2+n)+1) \\cdot (2n+1)=(3+n) \\cdot (2n+1)[\/tex] .
\nAssim, como [tex] d=88[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad (3+n) \\cdot (2n+1)=88[\/tex]
\n[tex]\\qquad 6n+3+2n^2+n=88[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2n^2+7n-85=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad n=\\dfrac{-7 \\pm\\sqrt{49+680}}{4}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad n=\\dfrac{-7 \\pm\\sqrt{729}}{4}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad n=\\dfrac{-7 \\pm 27}{4}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad n_1=\\dfrac{-7 +27}{4}\\, ;\\, n_2=\\dfrac{-7 -27}{4}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad n_1=5\\, ;\\, n_2=\\dfrac{-17}{2}[\/tex] .
\nComo [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, ent\u00e3o [tex]n=5[\/tex] e, assim,
\n[tex] \\qquad y=18 \\cdot 4^n=18 \\cdot 4^5=\\left(2\\cdot 3^2\\right) \\cdot\\left(2^2 \\right)^5=2^{11}\\cdot 3^2[\/tex].
\nPortanto, [tex]y[\/tex] tem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (11+1) \\cdot (2+1)=12 \\cdot 3=36$} [\/tex] divisores naturais.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\n

Como
\n[tex]\\qquad x=4\\cdot 18^n=\\left(2^2\\right) \\cdot \\left(2 \\cdot 3^2\\right)^n=2^2 \\cdot 2^n \\cdot 3^{2n}=2^{2+n} \\cdot 3^{2n}[\/tex],
\nent\u00e3o o n\u00famero de divisores de [tex]x[\/tex] \u00e9
\n[tex]\\qquad d=((2+n)+1) \\cdot (2n+1)=(3+n) \\cdot (2n+1)[\/tex].
\nAssim, como [tex] d=88[\/tex], segue que
\n[tex] \\qquad (3+n) \\cdot (2n+1)=88[\/tex]
\n[tex] \\qquad (3+n) \\cdot (2n+1)=2^3 \\cdot 11.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPerceba que [tex]2n+1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar; assim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], conclu\u00edmos que temos apenas duas possibilidades para [tex]2n+1[\/tex]: [tex]\\boxed{2n+1=1}[\/tex] ou [tex]\\boxed{2n+1=11}.[\/tex]
\nMas, se [tex]2n+1=1[\/tex], necessariamente [tex]n=0[\/tex] e, neste caso, [tex]x=4[\/tex]. S\u00f3 que o n\u00famero [tex]4[\/tex] n\u00e3o tem [tex]88[\/tex] divisores; logo [tex]2n+1[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]1[\/tex]. Portanto, [tex]2n+1=11[\/tex] e, com isso, [tex]n=5.[\/tex]
\nConsequentemente,
\n[tex] \\qquad y=18 \\cdot 4^n=18 \\cdot 4^5=\\left(2\\cdot 3^2\\right) \\cdot\\left(2^2 \\right)^5=2^{11}\\cdot 3^2[\/tex],
\ne, ent\u00e3o, [tex]y[\/tex] tem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (11+1) \\cdot (2+1)=12 \\cdot 3=36$} [\/tex] divisores naturais.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Sejam [tex]\\boxed{ x=4\\cdot 18^n}[\/tex] e [tex] \\boxed{y=18 \\cdot 4^n}[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]n \\in \\mathbb{N}.[\/tex] Se [tex]x[\/tex] tem [tex]88[\/tex] divisores naturais, quantos divisores naturais tem [tex]y[\/tex]? Ajuda – N\u00famero de divisores Se [tex]m[\/tex] … <\/p>\n

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