{"id":108572,"date":"2018-09-01T23:16:39","date_gmt":"2018-09-02T02:16:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=108572"},"modified":"2024-06-02T08:55:10","modified_gmt":"2024-06-02T11:55:10","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-o-numero-600","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-numero-600\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: O n\u00famero 600"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219682\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:24px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(a)<\/strong> Quantos divisores naturais possui o n\u00famero [tex]600[\/tex]? <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(b)<\/strong>  Quantos desses divisores s\u00e3o pares? <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(c)<\/strong>  Quantos s\u00e3o \u00edmpares? <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(d)<\/strong>  Quantos s\u00e3o quadrados perfeitos?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto;\">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda (1) &#8211; Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Se \t<\/p>\n<ul>\n<li>uma escolha <strong>E1<\/strong> puder ser feita de [tex] m_1 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<li> uma escolha <strong>E2<\/strong> puder ser feita de [tex]m_2 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<li> uma escolha <strong>E3<\/strong> puder ser feita de [tex]m_3[\/tex] maneiras,<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que as tr\u00eas escolhas ocorrem ao mesmo tempo \u00e9 [tex]\\boxed{m_1\\times m_2 \\times m_{3}}.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"font-size: 11px;text-align:right; margin:8px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=85726\" target=\"_blank\" title=\"Sala de leitura: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px; border: 0 none\"\/>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda (2) &#8211;  N\u00famero de divisores<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"97\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Se [tex]m[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo cuja decomposi\u00e7\u00e3o como produto de pot\u00eancias de primos \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad m=p_1^{n_1}\\times p_2^{n_2}\\times p_3^{n_3}[\/tex],<br \/>\nent\u00e3o  o n\u00famero de divisores naturais de [tex]m[\/tex] \u00e9<br \/>\n[tex]\\quad \\quad (n_1+1)\\times (n_2+1)\\times (n_3+1)[\/tex] .<\/p>\n<p style=\"font-size: 11px;text-align:right; margin:8px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse resultado, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=85689\" target=\"_blank\" title=\"Sala de leitura: Contagem de Divisores - um segundo estudo\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span >\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(a)<\/strong> A decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]600[\/tex] em fatores primos \u00e9 [tex]600=2^3\\times3\\times5^2[\/tex].<br \/>\nAssim, um divisor natural de [tex]600[\/tex] \u00e9, necessariamente, um n\u00famero da forma <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]2^x\\times3^y\\times5^z[\/tex], com [tex]x \\in \\{0,1,2, 3\\}\\, [\/tex], [tex]\\, y \\in \\{0,1\\}\\, [\/tex] e [tex]\\, z \\in \\{0,1,2\\}[\/tex] .<\/p>\n<p>Como temos quatro escolhas distintas para o expoente [tex]x[\/tex], duas escolhas distintas para [tex]y[\/tex] e tr\u00eas escolhas para [tex]z[\/tex], o  Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 4 \\times  2 \\times 3 = 24$} [\/tex] divisores naturais de [tex]600.[\/tex]<br \/>\nVeja o esqueminha dessa contagem:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c }<br \/>\n\\underline{\\text{  4 escolhas }}&#038;\\underline{\\text{  2 escolhas }}&#038;\\underline{\\text{  3 escolhas }}\\\\<br \/>\n \\text{expoente } x&#038;  \\text{ expoente } y&#038;  \\text{ expoente } z<br \/>\n\\end{array}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Poder\u00edamos tamb\u00e9m solucionar este item utilizando o resultado apresentado na <strong>Ajuda (2)<\/strong>:<br \/>\nComo a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]600[\/tex] em fatores primos \u00e9 [tex]600=2^3\\times3\\times5^2[\/tex], ent\u00e3o [tex]600[\/tex]  tem<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad (3+1)\\times (1+1)\\times (2+1)=4\\times  2 \\times 3=24[\/tex]<br \/>\ndivisores naturais.\n<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(b)<\/strong> Para que um divisor natural de [tex]600[\/tex] seja par, \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que o fator [tex]2[\/tex] esteja presente na sua decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos.<br \/>\nPerceba que essa condi\u00e7\u00e3o ocorre quando [tex]x=1,2,3[\/tex]; assim, neste caso,  o  Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 3 \\times  2 \\times 3 = 18$} [\/tex] divisores naturais pares de [tex]600.[\/tex]<br \/>\nVeja o esqueminha dessa contagem:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c }<br \/>\n\\underline{\\text{  3 escolhas }}&#038;\\underline{\\text{  2 escolhas }}&#038;\\underline{\\text{  3 escolhas }}\\\\<br \/>\n \\text{expoente } x&#038;  \\text{ expoente } y&#038;  \\text{ expoente } z<br \/>\n\\end{array}.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(c)<\/strong> Para que um divisor natural de [tex]600[\/tex] seja \u00edmpar, \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que o fator [tex]2[\/tex] n\u00e3o esteja presente na sua decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos.<br \/>\nObserve que essa condi\u00e7\u00e3o s\u00f3 ocorre quando [tex]x=0[\/tex]; assim,  o  Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 1 \\times  2 \\times 3 = 6$} [\/tex] divisores naturais \u00edmpares de [tex]600.[\/tex]<br \/>\nVeja o esqueminha dessa contagem:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c }<br \/>\n\\underline{\\text{  1 escolha  }}&#038;\\underline{\\text{  2 escolhas }}&#038;\\underline{\\text{  3 escolhas }}\\\\<br \/>\n \\text{expoente } x&#038;  \\text{ expoente } y&#038;  \\text{ expoente } z<br \/>\n\\end{array}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>\nPoder\u00edamos tamb\u00e9m conseguir esse n\u00famero lembrando que o n\u00famero de divisores naturais \u00edmpares \u00e9 igual ao n\u00famero total de divisores naturais menos o n\u00famero de divisores naturais pares, ou seja, [tex]24 \u2013 18 = 6.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>(d)<\/strong> Um n\u00famero natural \u00e9 quadrado perfeito se, e somente se, na sua decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos s\u00f3 aparecem expoentes pares.<br \/>\nDesse modo, como [tex]x \\in \\{0,1,2, 3\\}[\/tex], [tex]y \\in \\{0,1\\}[\/tex] e [tex]z \\in \\{0,1,2\\}[\/tex], temos duas escolhas poss\u00edveis para [tex]x[\/tex], uma para [tex]y[\/tex] e duas para [tex]z[\/tex]. Logo, o  Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 2 \\times  1 \\times 2 = 4$} [\/tex] divisores naturais de [tex]600[\/tex] que s\u00e3o quadrados perfeitos.<br \/>\n\u00daltimo esqueminha de contagem:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c }<br \/>\n\\underline{\\text{  2 escolhas  }}&#038;\\underline{\\text{  1 escolha }}&#038;\\underline{\\text{  2 escolhas }}\\\\<br \/>\n \\text{expoente } x&#038;  \\text{ expoente } y&#038;  \\text{ expoente } z<br \/>\n\\end{array}\\, \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/O-n\u00famero-600.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ O n\u00famero 600.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) (a) Quantos divisores naturais possui o n\u00famero [tex]600[\/tex]? (b) Quantos desses divisores s\u00e3o pares? (c) Quantos s\u00e3o \u00edmpares? (d) Quantos s\u00e3o quadrados perfeitos? Ajuda (1) &#8211; Princ\u00edpio Fundamental da Contagem Se uma escolha &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-numero-600\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-108572","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108572","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=108572"}],"version-history":[{"count":76,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108572\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219684,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108572\/revisions\/219684"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=108572"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}