\n
Problema Seja [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow\\mathbb{R}[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o constante tal que <\/p>\n (a)<\/strong> Determine o valor de [tex]f(0)[\/tex]. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n (a)<\/strong> Observe que, se [tex]x \\in \\mathbb{R}[\/tex], ent\u00e3o particularmente [tex]f\\left(\\dfrac{x}{2}+\\dfrac{x}{2}\\right)=f\\left(\\dfrac{x}{2}\\right)\\cdot f\\left(\\dfrac{x}{2}\\right).[\/tex] \n (b)<\/strong> Como [tex]f\\left(\\dfrac{x}{2}+\\dfrac{x}{2}\\right)=f\\left(\\dfrac{x}{2}\\right)\\cdot f\\left(\\dfrac{x}{2}\\right),[\/tex] segue que Assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(x)\\gt 0,\\, \\forall \\, x \\in \\, \\mathbb{R}$}.[\/tex]<\/p>\n (c)<\/strong> Observe, pelo item b<\/strong>, que [tex]f(x)\\gt 0,\\, \\forall \\, x \\in \\, \\mathbb{R}[\/tex]. Assim, o conjunto imagem de [tex]f[\/tex] \u00e9 formado apenas por n\u00fameros reais positivos e, com isso, observamos que o contradom\u00ednio de [tex]f[\/tex] \u00e9 diferente do conjunto imagem [tex]\\left(Im(f) \\subset \\mathbb{R_+^*} \\ne \\mathbb{R}\\right)[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Seja [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow\\mathbb{R}[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o constante tal que [tex]f(x+y)=f(x)\\cdot f(y)[\/tex], [tex]\\forall\\, x,\\, y\\, \\in \\mathbb{R}[\/tex]. (a) Determine o valor de [tex]f(0)[\/tex]. (b) Mostre que [tex]f(x)\\gt 0, \\, \\forall \\, x \\, \\in \\mathbb{R}[\/tex]. (c) A fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 sobrejetiva? Solu\u00e7\u00e3o (a) Observe que, se [tex]x … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n\n
\n(b)<\/strong> Mostre que [tex]f(x)\\gt 0, \\, \\forall \\, x \\, \\in \\mathbb{R}[\/tex].
\n(c)<\/strong> A fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] \u00e9 sobrejetiva?<\/p>\n
\n
\nDessa forma,
\n[tex]\\qquad f(0+0)=f(0)\\cdot f(0)[\/tex],
\n ou seja,
\n[tex]\\qquad f(0)=\\left(f(0)\\right)^2[\/tex],
\nou ainda
\n[tex]\\qquad \\left(f(0)\\right)^2-f(0)=0 \\, . \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nObserve que a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] nos garante que [tex]f(0)[\/tex] \u00e9 raiz da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-x=0 \\, [\/tex], cujas solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o [tex]x_1=0 \\, [\/tex] e [tex] \\, x_2=1.[\/tex] Assim, [tex]f(0)=0 \\, [\/tex] ou [tex] \\, f(0)=1.[\/tex]<\/p>\n\n
\nComo [tex]f[\/tex] n\u00e3o \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o constante, temos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(0)=1$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad f(x)=\\left(f\\left(\\dfrac{x}{2}\\right)\\right)^2 \\textcolor{red}{\\geq} 0,\\, \\forall \\, x \\in \\, \\mathbb{R}.[\/tex]
\nPara garantirmos que [tex]f(x)\\textcolor{red}{\\gt} 0, \\, \\forall \\, x \\, \\in \\mathbb{R}[\/tex], falta provar que [tex]f(x) \\textcolor{red}{\\neq} \\, 0\\, \\forall \\, x \\in \\, \\mathbb{R}.[\/tex]<\/p>\n\n
\nMas, se [tex]f[\/tex] se anula em um ponto [tex]a[\/tex], [tex]f[\/tex] \u00e9 constante igual a zero, o que contradiz o enunciado.<\/li>\n<\/ul>\n
\nLogo [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f \\text{ n\u00e3o \u00e9 sobrejetiva}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n