{"id":107486,"date":"2018-07-30T17:25:11","date_gmt":"2018-07-30T20:25:11","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=107486"},"modified":"2024-06-02T04:28:16","modified_gmt":"2024-06-02T07:28:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-primos-em-um-conjunto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-primos-em-um-conjunto\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros primos em um conjunto"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Seja [tex]A=\\{1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5, \\, 6, \\, 7, \\, 8, \\, 9, \\, 10, \\, 11, \\, 12, \\, 13, \\, 14, \\, 15 \\} \\, .[\/tex]
\nDeterminar o menor inteiro positivo [tex]m[\/tex] tal que qualquer subconjunto de [tex]A[\/tex] com [tex]m[\/tex] elementos tenha, pelo menos, um n\u00famero primo.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n

Observe que no conjunto [tex]A[\/tex] temos n\u00fameros primos e n\u00fameros n\u00e3o primos:<\/p>\n

    \n
  • primos:[tex] \\, 2, \\, 3, \\, 5, \\, 7, \\, 11, \\, 13 \\, [\/tex]<\/strong><\/span>, <\/li>\n
  • n\u00e3o primos:[tex] \\, 1, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, 9, \\, 10, \\, 12, \\, 14, \\, 15 \\, [\/tex]<\/strong><\/span>. <\/li>\n<\/ul>\n

    \n

    (O n\u00famero [tex]1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 primo nem composto, por isso \u00e9 que separamos os n\u00fameros do conjunto [tex]A[\/tex] em primos e n\u00e3o primos e n\u00e3o em primos e compostos.)<\/span>
    \nObserve, agora, que o maior subconjunto de [tex]A[\/tex] com n\u00fameros n\u00e3o primos \u00e9 exatamente
    \n[tex]\\qquad \\qquad B=\\{1, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, 9, \\, 10, \\, 12, \\, 14, \\, 15\\} \\, [\/tex];
    \nassim, podemos concluir que<\/p>\n

      \n
    • " Se considerarmos conjuntos com mais de nove elementos, ent\u00e3o necessariamente esses conjuntos ter\u00e3o, pelo menos um n\u00famero primo ".<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

      N\u00e3o conseguiu se convencer da veracidade da afirma\u00e7\u00e3o?
      \nEnt\u00e3o, pensemos juntos. <\/p>\n