{"id":107428,"date":"2018-07-30T17:14:11","date_gmt":"2018-07-30T20:14:11","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=107428"},"modified":"2024-06-02T04:21:03","modified_gmt":"2024-06-02T07:21:03","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-os-alunos-de-um-professor","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-os-alunos-de-um-professor\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Os alunos de um professor"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219635\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm professor de uma escola desenvolveu um trabalho com seus 165 alunos.<br \/>\nPara isso, distribuiu esses alunos em grupos com exatamente 11 componentes e percebeu que em todos os grupos a quantidade de alunas era maior do que a de alunos.<\/p>\n<ul>\n<li>Esse professor tem mais do que 96 alunas? <\/li>\n<li>E menos do que 50 alunos, \u00e9 poss\u00edvel?<\/li>\n<li>\u00c9 poss\u00edvel que esse professor tenha menos do que 92 alunas?<\/li>\n<li>E mais do que 77 alunos, \u00e9 poss\u00edvel?<\/li>\n<li>\u00c9 poss\u00edvel que esse professor tenha menos do que 77 alunas?<\/li>\n<li>Qual o n\u00famero m\u00ednimo de alunas que o professor tem?<\/li>\n<li>Qual o n\u00famero m\u00e1ximo de alunos que o professor tem?<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:26px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo [tex]165=11 \\times 15 \\, [\/tex], ent\u00e3o o professor mencionado no problema dividiu seus [tex]165[\/tex] alunos em [tex]15[\/tex] grupos com [tex]11[\/tex] componentes cada.<\/p>\n<p style=\"text-align:center; font-size:13px;\">[tex]<br \/>\n\\underbrace{\\begin{array}{c c c c c c}<br \/>\n\\underline{\\text{11 componentes}}&#038;\\underline{\\text{11 componentes}}&#038;\\underline{\\text{11 componentes}}&#038;  \\cdots  &#038;\\underline{\\text{11 componentes}}&#038;\\underline{\\text{11 componentes}}\\\\<br \/>\nG_1&#038;G_2&#038;G_3&#038;&#038;G_{14}&#038;G_{15}\\end{array}}_{\\text{165 alunos}}<br \/>\n[\/tex]<\/p>\n<p>Como em cada grupo a quantidade de alunas era maior do que a de alunos, cada grupo tinha, no m\u00ednimo [tex]6[\/tex] alunas (podendo inclusive ter [tex]11[\/tex] alunas),<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192.png\" style=\"border:none;\"alt=\"\" width=\"400\" height=\"74\" class=\"aligncenter size-full wp-image-108451\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192.png 400w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192-300x56.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<p>j\u00e1 que se um grupo tivesse menos do que [tex]6 [\/tex] alunas ([tex]5, \\, 4, \\, 3, \\, 2, \\, 1, \\, 0[\/tex]), ent\u00e3o nesse grupo existiriam no m\u00ednimo [tex]6 [\/tex] alunos, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192_1.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"76\" class=\"aligncenter size-full wp-image-108452\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192_1.png 400w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/prob_192_1-300x57.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<p>Assim, se [tex]\\textcolor{#FF1493}{a_i}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#00BFFF}{o_i}[\/tex] denotarem, respectivamente, o n\u00famero de alunas e o de alunos do grupo [tex]G_i[\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\textcolor{#FF1493}{6\\leqslant a_i \\leqslant 11}}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad \\boxed{\\textcolor{#00BFFF}{0 \\leqslant  o_i \\leqslant 5}} \\, . [\/tex]<br \/>\nDessa forma, como foram criados [tex]15[\/tex] grupos, ent\u00e3o o n\u00famero total de alunas, [tex]\\textcolor{#FF1493}{A} \\, [\/tex], e  o n\u00famero total de alunos, [tex]\\textcolor{#00BFFF}{O} \\, [\/tex], satisfazem \u00e0s seguintes rela\u00e7\u00f5es:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{\\textcolor{#FF1493}{90\\leqslant A \\leqslant 165}}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad \\boxed{\\textcolor{#00BFFF}{0 \\leqslant  O \\leqslant 75}} \\, . [\/tex]<br \/>\nPerceba que:<\/p>\n<ul>\n<li> ao n\u00famero m\u00ednimo de alunas ([tex]90[\/tex]),  corresponde o n\u00famero m\u00e1ximo de alunos ([tex]75[\/tex]): [tex]90+75=165[\/tex]<\/li>\n<li> ao n\u00famero m\u00e1ximo de alunas ([tex]165[\/tex]),  corresponde o n\u00famero m\u00ednimo de alunos ([tex]0[\/tex]): [tex]165+0=165 \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Feitas essas observa\u00e7\u00f5es, vamos \u00e0s respostas:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(1)<\/strong> <strong>Esse professor tem mais do que [tex]96[\/tex] alunas?<\/strong><\/p>\n<ul><strong>N\u00c3O.<\/strong><br \/>\nO professor <strong>pode ter<\/strong> mais do que  [tex]96[\/tex] alunas, mas <strong>n\u00e3o tem necessariamente<\/strong> mais do que [tex]96[\/tex] alunas.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(2)<\/strong> <strong>E menos do que [tex]50[\/tex] alunos, \u00e9 poss\u00edvel?<\/strong><\/p>\n<ul><strong>SIM.<\/strong><br \/>\nObserve que o professor <strong>pode ter<\/strong> de [tex]0[\/tex] a [tex]75[\/tex] alunos; assim, \u00e9 poss\u00edvel que ele tenha menos do que [tex]50[\/tex] alunos.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(3)<\/strong> <strong>\u00c9 poss\u00edvel que esse professor tenha menos do que [tex]92[\/tex] alunas?<\/strong><\/p>\n<ul><strong>SIM.<\/strong><br \/>\nObserve que o professor <strong>pode ter<\/strong> de [tex]90[\/tex] a [tex]165[\/tex] alunas; assim, \u00e9 poss\u00edvel que ele tenha menos do que [tex]92[\/tex] alunas.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(4)<\/strong> <strong>E mais do que [tex]77[\/tex] alunos, \u00e9 poss\u00edvel?<\/strong><\/p>\n<ul><strong>N\u00c3O.<\/strong><br \/>\nObserve que o professor pode ter de [tex]0[\/tex] a [tex]75[\/tex] alunos; assim, \u00e9 imposs\u00edvel que ele tenha mais do que [tex]77[\/tex] alunos.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(5)<\/strong> <strong>\u00c9 poss\u00edvel que esse professor tenha menos do que [tex]77[\/tex] alunas?<\/strong><\/p>\n<ul><strong>N\u00c3O.<\/strong><br \/>\nObserve que o professor pode ter de [tex]90[\/tex] a [tex]165[\/tex] alunas; assim, \u00e9 imposs\u00edvel que ele tenha menos do que [tex]77[\/tex] alunas.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(6)<\/strong> <strong>Qual o n\u00famero m\u00ednimo de alunas que o professor tem?<\/strong><\/p>\n<ul>O professor pode ter, no m\u00ednimo, [tex]90[\/tex] alunas.<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(7)<\/strong> <strong>Qual o n\u00famero m\u00e1ximo de alunos que o professor tem?<\/strong><\/p>\n<ul>O professor pode ter, no m\u00e1ximo, [tex]75[\/tex] alunos.<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Os-alunos-de-um-professor.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Os alunos de um professor.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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