{"id":107203,"date":"2018-07-14T14:26:07","date_gmt":"2018-07-14T17:26:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=107203"},"modified":"2023-05-03T02:49:20","modified_gmt":"2023-05-03T05:49:20","slug":"problemao-encontre-os-pares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-encontre-os-pares\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Encontre os pares"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>OBM<\/strong>) Determine todos os pares [tex](x,y)[\/tex] de n\u00fameros naturais tais que [tex]2(x+y)+xy=x^2+y^2[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>A partir da igualdade fornecida no problema, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 2(x+y)+xy=x^2+y^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+y^2-2x-2y-xy=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x^2+2y^2-4x-4y-2xy=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x^2-4x+4+y^2-4y+4+x^2-2xy+y^2=4+4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad (x-2)^2+(y-2)^2+(x-y)^2=8 \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(eq_1)}[\/tex]<br \/>\nAgora, como [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, a partir da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(eq_1)}[\/tex], temos tr\u00eas casos a considerar:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\mathbf(x-2)^2 &#038; (y-2)^2 &#038; (x-y)^2 \\\\ \\hline<br \/>\n4 &#038; \\mathbf 4 &#038; 0 \\\\ \\hline<br \/>\n\\mathbf 4 &#038; 0 &#038; 4 \\\\ \\hline<br \/>\n0 &#038; \\mathbf 4 &#038; 4 \\\\ \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex] <\/p>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] No primeiro caso temos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex](x-2)^2=4 \\, [\/tex], donde [tex]x=0[\/tex] ou [tex]x=4 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](y-2)^2=4 \\, [\/tex], donde [tex]y=0[\/tex] ou [tex]y=4 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](x-y)^2=0 \\, [\/tex], donde [tex]x=y \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Da\u00ed, teremos dois pares: [tex](0,0)[\/tex] e [tex](4,4)[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] No segundo caso temos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex](x-2)^2=4 \\, [\/tex], donde [tex]x=0[\/tex] ou [tex]x=4 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](y-2)^2=0 \\, [\/tex], donde [tex]y=2 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](x-y)^2=4 \\, [\/tex], donde [tex]x-y=2[\/tex] ou [tex]x-y=-2 \\, [\/tex],<\/li>\n<\/ul>\n<p> o que resulta em dois pares: [tex](4,2)[\/tex] e [tex](0,2)[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] No terceiro caso temos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex](x-2)^2=0 \\, [\/tex], donde [tex]x=2 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](y-2)^2=4 \\, [\/tex], donde [tex]y=0[\/tex] ou [tex]y=4 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>[tex](x-y)^2=4[\/tex], donde [tex]x-y=2[\/tex] ou [tex]x-y=-2 \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Obtemos, ent\u00e3o, mais dois pares: [tex](2,4)[\/tex] e [tex](2,0) \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Portanto, existem [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$} \\, [\/tex] pares de n\u00fameros naturais que satisfazem a igualdade proposta no problema.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (OBM) Determine todos os pares [tex](x,y)[\/tex] de n\u00fameros naturais tais que [tex]2(x+y)+xy=x^2+y^2[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o A partir da igualdade fornecida no problema, segue que: [tex]\\qquad 2(x+y)+xy=x^2+y^2[\/tex] [tex]\\qquad x^2+y^2-2x-2y-xy=0[\/tex] [tex]\\qquad 2x^2+2y^2-4x-4y-2xy=0[\/tex] [tex]\\qquad x^2-4x+4+y^2-4y+4+x^2-2xy+y^2=4+4[\/tex] [tex]\\qquad (x-2)^2+(y-2)^2+(x-y)^2=8 \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(eq_1)}[\/tex] Agora, como [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, a partir &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-encontre-os-pares\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-107203","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107203","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=107203"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107203\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188677,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107203\/revisions\/188677"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=107203"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}