{"id":107192,"date":"2018-07-14T14:16:56","date_gmt":"2018-07-14T17:16:56","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=107192"},"modified":"2023-05-03T02:49:53","modified_gmt":"2023-05-03T05:49:53","slug":"problema-duas-desigualdades","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-duas-desigualdades\/","title":{"rendered":".Problema: Duas desigualdades"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espa\u00e7o do esquema  abaixo, os algarismos [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]8[\/tex] e [tex]9[\/tex], de modo que todos os seis algarismos apare\u00e7am e formem  tr\u00eas n\u00fameros de dois algarismos que satisfa\u00e7am as duas desigualdades indicadas?<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\underline{\\qquad }[\/tex] [tex]\\underline{\\qquad }[\/tex]  [tex] \\,  \\, \\textcolor{red}{\\lt} \\,  \\, [\/tex]  [tex]\\underline{\\qquad }[\/tex] [tex]\\underline{\\qquad }[\/tex] [tex] \\,  \\, \\textcolor{red}{\\lt} \\,  \\, [\/tex] [tex]\\underline{\\qquad }[\/tex] [tex]\\underline{\\qquad }[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:29px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Para resolver o problema, vamos tomar cinco decis\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li> a primeira na escolha dos algarismos das dezenas,<\/li>\n<li> a segunda organizando estas dezenas <\/li>\n<li>e as \u00faltimas tr\u00eas escolhendo cada algarismo das unidades.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Note que podemos escolher quaisquer tr\u00eas algarismos para serem as dezenas e, uma vez escolhidos, temos  necessariamente que colocar o menor no membro \u00e0 esquerda, o do meio no membro central e o maior no membro da direita. Assim, se escolhermos os algarismos [tex]a\\lt b\\lt c[\/tex], teremos que coloc\u00e1-los da seguinte forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]a[\/tex] [tex]\\underline{}[\/tex] [tex]\\textcolor{red}{\\lt}[\/tex] [tex]b[\/tex] [tex]\\underline{}[\/tex] [tex]\\textcolor{red}{\\lt}[\/tex] [tex]c[\/tex] [tex]\\underline{}[\/tex] <\/p>\n<p>Dessa forma, podemos escolher os algarismos para as dezenas de [tex]C_6^3=\\textcolor{red}{20}[\/tex] (combina\u00e7\u00e3o simples) maneiras e haver\u00e1 <span style=\"color:#0000FF;\"> <strong>uma<\/strong> <\/span> maneira de organizarmos nossa escolha: [tex]a\\lt b\\lt c[\/tex].<\/p>\n<p>Agora, uma vez organizados os algarismos das dezenas em ordem crescente, podemos preencher as unidades com os outros tr\u00eas algarismos da forma que quisermos: como n\u00e3o h\u00e1 dezenas iguais, as unidades n\u00e3o v\u00e3o mudar as desigualdades. Logo, temos <span style=\"color:#FF00FF;\"> <strong>tr\u00eas <\/strong> <\/span> op\u00e7\u00f5es para a primeira unidade, <span style=\"color:#D2691E;\"> <strong>duas <\/strong> <\/span> para a segunda e  <span style=\"color:#00CED1;\"> <strong> uma<\/strong> <\/span> para a \u00faltima.<\/p>\n<p>Pelo princ\u00edpio multiplicativo, s\u00e3o [tex] \\, \\boxed{\\textcolor{red}{20}\\times \\textcolor{blue}{1} \\times \\textcolor{#FF00FF}{3} \\times \\textcolor{#D2691E}{2} \\times \\textcolor{#00CED1}{1}} \\, [\/tex] maneiras de preencher o esquema, ou seja, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$} \\, [\/tex] maneiras no total.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espa\u00e7o do esquema abaixo, os algarismos [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]8[\/tex] e [tex]9[\/tex], de modo que todos os seis algarismos apare\u00e7am e formem tr\u00eas n\u00fameros de dois algarismos que satisfa\u00e7am as duas desigualdades indicadas? 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