\n
Problema Um grupo de alunos de um Clube de Matem\u00e1tica decidiu comprar um presente no valor de [tex]60[\/tex] reais para o professor Francimar. \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Sendo [tex]x[\/tex] o n\u00famero total de alunos, observamos que:<\/p>\n Com o aumento de [tex]1[\/tex] real para cada aluno presente no dia combinado para levarem o dinheiro, segue que:<\/p>\n [tex]\\quad \\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60}{x}+1[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad \\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60}{x}+\\dfrac{x}{x}[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad\\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60+x}{x}[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad 60x=(x-3)(60+x)[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad 60x=60x-180-3x+x^2[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad x^2-3x-180=0 \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] [tex]x_1=\\dfrac{3+\\sqrt{9+720}}{2}=\\dfrac{3+\\sqrt{729}}{2}=\\dfrac{3+27}{2}=15 \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, x_2=\\dfrac{3-\\sqrt{9+720}}{2}=\\dfrac{3-\\sqrt{729}}{2}=\\dfrac{3-27}{2}=-12 \\, [\/tex]; <\/p>\n mas, como [tex]x[\/tex] representa uma quantidade de alunos, a solu\u00e7\u00e3o [tex]x_2=-12 \\, [\/tex] n\u00e3o conv\u00e9m. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Sendo [tex]x[\/tex] o n\u00famero total de alunos, observamos que:<\/p>\n Com o aumento de [tex]1[\/tex] real para cada aluno presente no dia combinado para levarem o dinheiro, segue que:<\/p>\n [tex]\\quad \\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60}{x}+1[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad \\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60}{x}+\\dfrac{x}{x}[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad\\dfrac{60}{x-3}=\\dfrac{60+x}{x}[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad 60x=(x-3)(60+x)[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad 60x=60x-180-3x+x^2[\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad x^2-3x-180=0 \\, [\/tex]<\/p>\n [tex]\\quad x\\left(x-3\\right)=180.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n Como [tex]x[\/tex] e [tex]x-3[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, pela equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] podemos concluir que ambos s\u00e3o divisores de [tex]180 \\, .[\/tex] Assim, vamos examinar os divisores de [tex]180[\/tex] e para isso vamos utilizar o dispositivo pr\u00e1tico exposto nesta sala<\/strong><\/a>. mas, destes, apenas em um par a diferen\u00e7a entre os n\u00fameros \u00e9 de tr\u00eas unidades; portanto, temos [tex]x=15[\/tex] e [tex]x-3=12[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Um grupo de alunos de um Clube de Matem\u00e1tica decidiu comprar um presente no valor de [tex]60[\/tex] reais para o professor Francimar. O valor deveria ser dividido igualmente entre os alunos, no entanto, no dia combinado para levarem o dinheiro, tr\u00eas alunos faltaram. Dessa forma, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\nO valor deveria ser dividido igualmente entre os alunos, no entanto, no dia combinado para levarem o dinheiro, tr\u00eas alunos faltaram. Dessa forma, cada um dos alunos presentes precisou contribuir com mais [tex]1[\/tex] real.
\nNo fim, quantos alunos efetivamente contribu\u00edram com a compra do presente?\n <\/p>\n<\/div>\n
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\nVeja que as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o de segundo grau [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] s\u00e3o:<\/p>\n
\nPortanto, [tex]15[\/tex] alunos deveriam contribuir inicialmente, mas apenas [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$}[\/tex] contribu\u00edram efetivamente para a compra do presente.<\/p>\n
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\nA partir da decomposi\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\hspace{1.8cm}\\underline{\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{1}} \\\\
\n\\qquad \\begin{array}{r|l}
\n180 & 2 & \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{2}\\\\
\n90 & 2 & \\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{4}\\\\
\n45 & 3 &\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{3}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{6}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{12}\\\\
\n 15 & 3&\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{9}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{18}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{36}\\\\
\n5 & 5 &\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{5}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{10}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{20}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{15}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{30}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{60}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{45}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{90}\\fcolorbox{black}{#FFFFBF}{180}\\\\
\n1 & & \\\\ \\end{array}[\/tex]
\nobtemos o conjunto dos divisores naturais de [tex]180[\/tex]:
\n[tex]\\qquad D(180)=\\{1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180\\}[\/tex]
\nAgora, note que os divisores formam nove “pares cujo produto \u00e9 [tex]180[\/tex]”:<\/p>\n\n
\nPodemos ent\u00e3o concluir que [tex]15[\/tex] alunos deveriam ter contribu\u00eddo, mas apenas [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$}[\/tex] efetivamente contribu\u00edram para a compra do presente do professor Francimar.<\/p>\n
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