\n
Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n
\n
Se voc\u00ea n\u00e3o aprendeu ainda o que \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o com elementos repetidos, voc\u00ea pode resolver o problema utilizando apenas o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong> e um pouco de bom senso!
\nImagine que as pessoas est\u00e3o todas em uma fila e que existam dois objetos (iguais) que separam as pessoas em tr\u00eas grupos (cada grupo vai para um caixa eletr\u00f4nico).
\nPor exemplo, se indicarmos as dez pessoas por [tex] P_1 \\, , \\, P_2 \\, , \\, P_3 \\, , \\, P_4 \\, , \\, P_5 \\, , \\, P_6 \\, , \\, P_7 \\, , \\, P_8 \\, , \\, P_9 \\, , \\, P_{10} \\, [\/tex] e os objetos separadores por duas barras coloridas [tex]\\textcolor{red}{|}[\/tex] e [tex]\\textcolor{blue}{|}[\/tex], uma configura\u00e7\u00e3o do tipo <\/p>\n\n- [tex]\\boxed{P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, \\textcolor{blue}{|} \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, \\textcolor{red}{|} \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex], <\/li>\n<\/ul>\n
indica que as duas primeiras pessoas v\u00e3o para o primeiro caixa eletr\u00f4nico, as tr\u00eas seguintes v\u00e3o para o segundo caixa eletr\u00f4nico e, por fim, as cinco \u00faltimas v\u00e3o para o terceiro caixa eletr\u00f4nico.
\nTemos, ent\u00e3o doze objetos (dez pessoas e dois separadores) para colocar em fila e, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, isso pode ser feito de <\/p>\n\n\n- [tex]12\\times 11 \\times10 \\cdots \\times 2 \\times 1=12![\/tex] maneiras.<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n
Vejam o esqueminha dessa contagem:<\/p>\n
[tex]\\begin{array}{c c c c c c}
\n\\underline{\\text{ 12 escolhas }}&\\underline{\\text{ 11 escolhas }}&\\underline{\\text{ 10 escolhas }}&\\cdots &\\underline{\\text{ 2 escolhas }}&\\underline{\\text{ 1 escolha }}\\\\
\n1^a \\text{ posi\u00e7\u00e3o}&2^a \\text{ posi\u00e7\u00e3o}&3^a \\text{ posi\u00e7\u00e3o}&\\cdots & 11^a \\text{ posi\u00e7\u00e3o}&12^a \\text{ posi\u00e7\u00e3o}
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
Mas observe que, se em cada uma dessas configura\u00e7\u00f5es trocarmos de posi\u00e7\u00e3o as duas barras entre si, os tr\u00eas grupos de pessoas que ir\u00e3o para os caixas eletr\u00f4nicos ser\u00e3o os mesmos nas duas configura\u00e7\u00f5es, pois os tr\u00eas peda\u00e7os dos dois anagramas ser\u00e3o os mesmos, j\u00e1 que modificamos a posi\u00e7\u00e3o apenas dos separadores.
\nPor exemplo <\/p>\n
\n- as configura\u00e7\u00f5es [tex]\\boxed{P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, \\textcolor{blue}{|} \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, \\textcolor{red}{|} \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex] e [tex]\\boxed{P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, \\textcolor{red}{|} \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, \\textcolor{blue}{|} \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex]
\ndefinem as mesmas tr\u00eas filas: [tex]\\boxed{P_1 \\, \\, P_2} \\, \\, \\boxed{P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, } \\, \\, \\boxed{P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex], <\/li>\n - as configura\u00e7\u00f5es [tex]\\boxed{\\textcolor{blue}{|}P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, \\textcolor{red}{|} \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex] e [tex]\\boxed{\\textcolor{red}{|}P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, \\textcolor{blue}{|} \\, \\, P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex]
\ndefinem as mesmas tr\u00eas filas: [tex]\\boxed{{ \\, ^{ \\, ^ \\, \\, }}_ \\, } \\, \\, \\boxed{P_1 \\, \\, P_2 \\, \\, P_3 \\, \\, P_4 \\, \\, P_5 \\, \\, P_6 \\, \\, P_7 \\, \\, P_8 \\, \\, } \\, \\, \\boxed{P_9 \\, \\, P_{10}} \\, [\/tex] (Note que a primeira fila \u00e9 vazia.)<\/li>\n<\/ul>\nDessa forma, contamos um mesmo grupo de tr\u00eas filas duas vezes e, portanto, devemos dividir o resultado da nossa contagem por [tex]2[\/tex] para que tenhamos maneiras diferentes de formarmos as tr\u00eas filas.
\nAssim, s\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{12!}{2}=239\\,500\\,800$}[\/tex] as maneiras distintas de formarmos filas com as dez pessoas, diante dos tr\u00eas caixas eletr\u00f4nicos.<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) H\u00e1 [tex]10[\/tex] pessoas em um banco e apenas [tex]3[\/tex] caixas eletr\u00f4nicos. De quantas maneiras essas pessoas podem formar filas diante dessas [tex]3[\/tex] m\u00e1quinas? (Admita a possibilidade de haver filas vazias.) Solu\u00e7\u00e3o 1 \u00c9 poss\u00edvel representar cada possibilidade como um anagrama com [tex]12[\/tex] s\u00edmbolos, sendo dez … <\/p>\n
Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-107028","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107028","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=107028"}],"version-history":[{"count":69,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107028\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188684,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/107028\/revisions\/188684"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=107028"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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