{"id":106967,"date":"2018-09-17T22:19:13","date_gmt":"2018-09-18T01:19:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=106967"},"modified":"2023-05-09T04:37:57","modified_gmt":"2023-05-09T07:37:57","slug":"problemao-questoes-na-olimpiada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-questoes-na-olimpiada\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Quest\u00f5es na olimp\u00edada"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEm uma Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica, [tex]7501[\/tex] estudantes fizeram uma prova de [tex]25[\/tex] quest\u00f5es de m\u00faltipla escolha, com [tex]4[\/tex] alternativas por quest\u00e3o, e todos os estudantes responderam a todas as quest\u00f5es.<br \/>\nConsidere a afirma\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<ul>\n<li><strong>Pelo menos [tex]6[\/tex] estudantes responderam de modo id\u00eantico \u00e0s [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es da prova. <\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Qual \u00e9 o maior valor de [tex]k[\/tex] para o qual a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto;\">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<\/ul>\n<p>e todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra), ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex] <span style=\"font-size: 11px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=85726\" target=\"_blank\" title=\"Sala de leitura: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Princ\u00edpio das casas de pombos<\/strong>:<br \/>\nSe tivermos  [tex]n+1[\/tex] pombos para serem colocados em [tex]n[\/tex] casas, ent\u00e3o pelo menos uma casa dever\u00e1 conter mais de um pombo.  <span style=\"font-size: 11px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=85719\" target=\"_blank\" title=\"Sala de leitura: Princ\u00edpio das casas de pombos\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nComo cada quest\u00e3o tem [tex]4[\/tex] alternativas, pelo <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, as [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es podem ser respondidas de [tex]4\\times 4 \\times \\cdots \\times 4=4^k[\/tex] modos. <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{c c c c c}<br \/>\n\\underline{\\text{  4 alternativas  }}&#038;\\underline{\\text{  4 alternativas  }}&#038;\\underline{\\text{  4 alternativas  }}&#038;\\cdots &#038;\\underline{\\text{  4 alternativas  }}\\\\<br \/>\n\\text{Quest\u00e3o 1}&#038;\\text{Quest\u00e3o 2}&#038;\\text{Quest\u00e3o 3}&#038;\\cdots &#038; \\text{Quest\u00e3o k}<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p>Vamos agora analisar a a\u00e7\u00e3o de responder a todas as [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es.<br \/>\nJ\u00e1 sabemos que essa a\u00e7\u00e3o pode ser feita de  [tex]4^k[\/tex] maneiras diferentes.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/QO_01.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"376\" height=\"85\" class=\"aligncenter size-full wp-image-112076\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/QO_01.png 376w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/QO_01-300x68.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 376px) 100vw, 376px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Observe que se reunirmos [tex]4^k[\/tex] estudantes, temos  a possibilidade de que cada um responda as [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es de uma maneira diferente dos demais, j\u00e1 que existem exatamente [tex]4^k[\/tex] modos de responder a essas quest\u00f5es. Mas, se reunirmos [tex]4^k+1[\/tex] estudantes, pelo menos dois desses estudantes ir\u00e3o responder da mesma forma, j\u00e1 que existem exatamente [tex]4^k[\/tex] modos de se responder \u00e0s [tex]k[\/tex] quest\u00f5es.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip22.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"604\" height=\"188\" class=\"aligncenter size-full wp-image-112114\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip22.png 604w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip22-300x93.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 604px) 100vw, 604px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Agora, se reunirmos [tex]2\\cdot 4^k[\/tex] estudantes, temos  a possibilidade de que cada uma das  [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es seja respondida da mesma forma por dois estudantes, uma vez que temos [tex]4^k[\/tex] modos de responder a essas quest\u00f5es. Mas, se reunirmos [tex]2 \\cdot 4^k+1[\/tex] estudantes, pelo menos tr\u00eas desses estudantes ir\u00e3o responder da mesma forma.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip33.png\" style=\"border:none\"alt=\"\" width=\"771\" height=\"189\" class=\"aligncenter size-full wp-image-112115\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip33.png 771w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip33-300x74.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/olip33-768x188.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 771px) 100vw, 771px\" \/><\/p>\n<p>Se prosseguirmos com esse racioc\u00ednio, o &quot;Princ\u00edpio das casas de pombos&quot; indica que deve-se ter pelo menos [tex]\\boxed{5\\cdot4^k+1}[\/tex] estudantes para garantir que pelo menos seis estudantes respondam a estas [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es do mesmo modo.<br \/>\nDessa forma, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 5\\cdot4^k+1\\le7501[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 5\\cdot4^k\\le7500[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 4^k\\le1500[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad k\\le 5.[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, o valor m\u00e1ximo para [tex]k[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\text{ cinco }$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px;\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Em uma Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica, [tex]7501[\/tex] estudantes fizeram uma prova de [tex]25[\/tex] quest\u00f5es de m\u00faltipla escolha, com [tex]4[\/tex] alternativas por quest\u00e3o, e todos os estudantes responderam a todas as quest\u00f5es. Considere a afirma\u00e7\u00e3o: Pelo menos [tex]6[\/tex] estudantes responderam de modo id\u00eantico \u00e0s [tex]k[\/tex] primeiras quest\u00f5es &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-questoes-na-olimpiada\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-106967","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106967","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=106967"}],"version-history":[{"count":49,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106967\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":189457,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106967\/revisions\/189457"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=106967"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}