Problema \n<\/p><\/div>\n \n Lembretes e nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n (1)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span> \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Utilizando o Lembrete (1)<\/strong><\/span>, vamos explorar a figura anterior e encontrar a medida de v\u00e1rios \u00e2ngulos.<\/p>\n Infelizmente, n\u00e3o conseguimos ainda o valor do \u00e2ngulo pedido; assim, vamos fazer novas an\u00e1lises, Finalmente, temos que [tex]\\boxed{x+40^\\circ=70^\\circ}[\/tex], donde [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=30^\\circ$}\\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) O “Tri\u00e2ngulo Russo” trata-se de um problema cl\u00e1ssico da Geometria Plana. Muitos o chamam de “Problema de Langley”, em homenagem ao autor, Edward Mann Langley (1851-1933). Apresentado como exerc\u00edcio em um livro de matem\u00e1tica russo cujo principal autor chamava-se Victor Borisovich Lidskii (1924-2008), esse problema … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nO “Tri\u00e2ngulo Russo”<\/strong><\/span> trata-se de um problema cl\u00e1ssico da Geometria Plana.
\nMuitos o chamam de “Problema de Langley”<\/strong>, em homenagem ao autor, Edward Mann Langley<\/em> (1851-1933). Apresentado como exerc\u00edcio em um livro de matem\u00e1tica russo cujo principal autor chamava-se Victor Borisovich Lidskii <\/em> (1924-2008), esse problema \u00e9 tamb\u00e9m conhecido como “Tri\u00e2ngulo de Lidskii”<\/strong>.
\nVamos a ele.
\nNa figura abaixo, sabendo que os segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento, determine a medida [tex]x[\/tex], em graus, do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{N}M[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig002.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(2)<\/strong><\/span> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os lados adjacentes \u00e0 base congruentes e \u00e2ngulos da base com mesma medida. (Se precisar, veja o finalzinho desta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span>
\n(3)<\/strong><\/span> Se um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui um \u00e2ngulo interno medindo [tex]60^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero.
\n(4)<\/strong><\/span> Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]\\overline{AB}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]AB[\/tex].<\/p>\n
\nSabemos que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex] (Lembrete (1)<\/strong><\/span>). Assim, como [tex]AB = AC[\/tex], observando o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] conclu\u00edmos que [tex]A\\hat{B}C=A\\hat{C}B=80^\\circ[\/tex]. Podemos, ent\u00e3o, construir um segmento de reta com extremidade no ponto [tex]B[\/tex] e que intercepta o lado [tex]\\overline {AC}[\/tex] em um ponto [tex]P[\/tex] de tal forma que o \u00e2ngulo [tex]P\\hat{B}C=20^\\circ.[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/Triangulo-Russo1.jpg\")
<\/p>\n\n
![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/Triangulo-Russo2.jpg\")
<\/p>\n
\nNa sequ\u00eancia, podemos destacar tr\u00eas tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles: [tex]\\triangle BPC[\/tex], [tex]\\triangle PNB[\/tex] e [tex]\\triangle BMC[\/tex]. Observando esses tri\u00e2ngulos, conclu\u00edmos que:<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/Triangulo-Russo3.jpg\")
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![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/Triangulo-Russo4.jpg\")
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\n