{"id":106922,"date":"2018-07-13T17:54:03","date_gmt":"2018-07-13T20:54:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=106922"},"modified":"2023-05-03T02:56:39","modified_gmt":"2023-05-03T05:56:39","slug":"problema-digitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-digitos\/","title":{"rendered":".Problema: D\u00edgitos"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Quantos d\u00edgitos possui o n\u00famero [tex]123456789^{2}[\/tex] ?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Uma forma de resolver esta quest\u00e3o seria calcular este n\u00famero e contar seus d\u00edgitos, mas isto ser\u00e1 muito trabalhoso para n\u00fameros muito maiores que [tex]123456789[\/tex].<br \/>\nVamos, ent\u00e3o, por outro caminho. <\/p>\n<ul>\n<li>Observe que se um n\u00famero [tex]a[\/tex] tiver apenas um d\u00edgito ele verifica [tex]10^0\\leq a \\lt 10^1[\/tex]; se tiver dois d\u00edgitos, ent\u00e3o [tex]10^1\\leq a \\lt 10^2[\/tex] e assim sucessivamente.<br \/>\nComo o n\u00famero [tex]123456789[\/tex] possui nove d\u00edgitos ent\u00e3o [tex]10^8\\leq 123456789 \\lt 10^9[\/tex].<br \/>\nDe [tex]10^8\\leq 123456789 \\lt 10^9[\/tex], segue que [tex]10^{16}\\leq 123456789^{2} \\lt 10^{18}[\/tex] e esta \u00faltima desigualdade mostra que:<\/li>\n<\/ul>\n<p>[tex] \\hspace{3cm} \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\text{o n\u00famero } 123456789^{2}\\, \\text{possui 17 ou 18 d\u00edgitos}$}\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Mas, por outro lado, [tex]123456789\\lt 130000000=13 \\times 10^7[\/tex] e, com isso,<\/li>\n<\/ul>\n<p>[tex] \\, \\hspace{3cm} \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$123456789^2\\lt 13^2 \\times 10^{14}=16900000000000000$}\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Portanto, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex], o n\u00famero [tex]123456789^{2}[\/tex] possui [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$17$}[\/tex] d\u00edgitos.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Quantos d\u00edgitos possui o n\u00famero [tex]123456789^{2}[\/tex] ? Solu\u00e7\u00e3o Uma forma de resolver esta quest\u00e3o seria calcular este n\u00famero e contar seus d\u00edgitos, mas isto ser\u00e1 muito trabalhoso para n\u00fameros muito maiores que [tex]123456789[\/tex]. Vamos, ent\u00e3o, por outro caminho. Observe que se um n\u00famero [tex]a[\/tex] tiver &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-digitos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-106922","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106922","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=106922"}],"version-history":[{"count":37,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106922\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":188687,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/106922\/revisions\/188687"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=106922"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}