Problema \n A cada produto dispon\u00edvel para venda nos supermercados brasileiros est\u00e1 associado um n\u00famero \u00fanico de treze d\u00edgitos, que geralmente encontra-se abaixo de uma sequ\u00eancia de barras verticais impressas no produto. A sequ\u00eancia de barras \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica do n\u00famero associado ao produto. [tex]\\boxed{a_1\\,a_2\\,a_3\\,a_4\\,a_5\\,a_6\\,a_7\\,a_8\\,a_9\\,a_{10}\\,a_{11}\\,a_{12}\\,a_{13}}[\/tex]<\/p>\n a soma <\/p>\n [tex]a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}[\/tex]<\/p>\n \u00e9 divis\u00edvel por [tex]10.[\/tex] <\/p>\n O sistema de associa\u00e7\u00e3o de um produto a um c\u00f3digo \u00fanico de treze d\u00edgitos aqui descrito \u00e9 conhecido como EAN-13<\/strong> (sigla de European Article Number<\/em><\/strong>) e serve para evitar fraudes ou erros de digita\u00e7\u00e3o. Um c\u00f3digo que n\u00e3o satisfa\u00e7a a condi\u00e7\u00e3o de "a soma dos d\u00edgitos das suas posi\u00e7\u00f5es \u00edmpares com os triplos dos d\u00edgitos das suas posi\u00e7\u00f5es pares ser divis\u00edvel por dez" \u00e9 dito um c\u00f3digo n\u00e3o v\u00e1lido no sistema EAN-13<\/strong><\/span>. \n<\/p><\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Seja [tex]a_1a_2\\dots a_{12}a_{13}[\/tex] o n\u00famero de treze d\u00edgitos associado a um determinado item comercial. Como este \u00e9 um n\u00famero v\u00e1lido no sistema EAN-13, ent\u00e3o a soma Assim, a substitui\u00e7\u00e3o do d\u00edgito [tex]a_i[\/tex] pelo d\u00edgito [tex]b_i[\/tex] produzir\u00e1 um c\u00f3digo ainda v\u00e1lido apenas <\/strong>se [tex]a_i=b_i[\/tex] e, portanto, a substitui\u00e7\u00e3o de um d\u00edgito [tex]a_i[\/tex] por um d\u00edgito diferente [tex]b_i[\/tex] n\u00e3o gera um c\u00f3digo v\u00e1lido.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) A cada produto dispon\u00edvel para venda nos supermercados brasileiros est\u00e1 associado um n\u00famero \u00fanico de treze d\u00edgitos, que geralmente encontra-se abaixo de uma sequ\u00eancia de barras verticais impressas no produto. A sequ\u00eancia de barras \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica do n\u00famero associado ao produto. Esse n\u00famero … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig001_1.png\")
\nEsse n\u00famero de treze algarismos associado a um produto \u00e9 tal que "a soma dos d\u00edgitos das suas posi\u00e7\u00f5es \u00edmpares com os triplos dos d\u00edgitos das suas posi\u00e7\u00f5es pares seja divis\u00edvel por dez".
\nAssim, se o n\u00famero associado a um produto que retiramos da prateleira de um supermercado for <\/p>\n
\nComo esse sistema \u00e9 pura Matem\u00e1tica, justifique a seguinte afirma\u00e7\u00e3o: <\/p>\n\n
\n
\n [tex]\\qquad \\boxed{a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}}[\/tex]
\n\u00e9 divis\u00edvel por [tex]10[\/tex].
\nSuponhamos que o d\u00edgito [tex]a_i[\/tex] da posi\u00e7\u00e3o [tex]i[\/tex] seja substitu\u00eddo por um d\u00edgito [tex]b_i[\/tex]. Temos, ent\u00e3o, dois casos a considerar:<\/p>\n\n
\nObserve que o novo c\u00f3digo [tex]a_1a_2\\dots b_i\\dots a_{12}a_{13}[\/tex] ser\u00e1 v\u00e1lido se o n\u00famero
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_1+3a_2+\\dots+b_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13}}[\/tex]
\nfor divis\u00edvel por [tex]10 \\, .[\/tex]
\nComo a diferen\u00e7a entre inteiros divis\u00edveis por [tex]10[\/tex] \u00e9 um n\u00famero tamb\u00e9m divis\u00edvel por [tex]10[\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad (a_1+3a_2+\\dots+b_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13})\\\\
\n\\qquad -(a_1+3a_2+\\dots+a_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13})=(b_i-a_i)[\/tex]
\nser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]10 \\, .[\/tex]
\nSendo o n\u00famero [tex]b_i-a_i[\/tex] divis\u00edvel por [tex]10[\/tex], como [tex]a_i[\/tex] e [tex]b_i[\/tex] s\u00e3o d\u00edgitos, isto ocorrer\u00e1 apenas <\/strong> quando [tex]a_i=b_i[\/tex].<\/li>\n
\nDe forma semelhante ao caso anterior, o novo c\u00f3digo [tex]a_1a_2\\dots b_i\\dots a_{12}a_{13}[\/tex] ser\u00e1 v\u00e1lido quando o n\u00famero
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_1+3a_2+\\dots+3b_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13}}[\/tex]
\nfor divis\u00edvel por [tex]10[\/tex].
\nDesta maneira, a diferen\u00e7a entre os n\u00fameros divis\u00edveis por [tex]10[\/tex]
\n[tex]\\qquad (a_1+3a_2+\\dots+3b_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13})\\\\
\n\\qquad -(a_1+3a_2+\\dots+3a_i+\\dots +3 a_{12}+a_{13})=3(b_i-a_i)[\/tex]
\ntamb\u00e9m ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]10[\/tex].
\nComo o n\u00famero [tex]3(b_i-a_i)[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]10[\/tex] e o m\u00e1ximo divisor comum de [tex]3[\/tex] e [tex]10[\/tex] \u00e9 [tex]1[\/tex], ent\u00e3o o n\u00famero [tex]b_i-a_i[\/tex] \u00e9 necessariamente divis\u00edvel por [tex]10 \\, .[\/tex] Mas [tex]a_i[\/tex] e [tex]b_i[\/tex] s\u00e3o d\u00edgitos, ent\u00e3o o n\u00famero [tex]3(b_i-a_i)[\/tex] ser\u00e1 divis\u00edvel por [tex]10[\/tex] apenas <\/strong>quando [tex]a_i=b_i[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
\n