{"id":106761,"date":"2018-07-12T16:38:01","date_gmt":"2018-07-12T19:38:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=106761"},"modified":"2023-05-03T03:05:16","modified_gmt":"2023-05-03T06:05:16","slug":"problema-o-ultimo-teorema-de-fermat","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-ultimo-teorema-de-fermat\/","title":{"rendered":".Problema: O \u00daltimo Teorema de Fermat"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n
\nO \u00daltimo Teorema de Fermat<\/strong> afirma que a equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n

[tex]x^n+y^n=z^n, \\ \\ \\ n>2,[\/tex]<\/p>\n

n\u00e3o admite solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas.<\/p><\/div>\n

\n

\n Um terno pitag\u00f3rico \u00e9 um trio de n\u00fameros naturais positivos [tex](a,b,c)[\/tex] tais que [tex]a^2+b^2=c^2.[\/tex]<\/div>\n

\n

\n

\nUsando o \u00daltimo Teorema de Fermat, mostre que n\u00e3o existe nenhum terno pitag\u00f3rico formado por tr\u00eas n\u00fameros quadrados perfeitos.\n<\/p>\n<\/p><\/div>\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Suponhamos que exista um terno pitag\u00f3rico [tex](A,B,C)[\/tex] formado por tr\u00eas quadrados perfeitos, ent\u00e3o devem existir tr\u00eas n\u00fameros naturais positivos [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] tais que [tex]A=a^2[\/tex], [tex]B=b^2[\/tex] e [tex]C=c^2[\/tex].
\nComo [tex](A,B,C)[\/tex] \u00e9 um terno pitag\u00f3rico segue que
\n[tex]\\qquad A^2+B^2=C^2[\/tex]
\nou, ainda,
\n[tex]\\qquad a^4+b^4=c^4 \\, .[\/tex]
\nMas com isso os n\u00fameros naturais [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] seriam solu\u00e7\u00f5es inteiras da equa\u00e7\u00e3o <\/p>\n

[tex]x^n+y^n=z^n \\, [\/tex], com [tex]n=4[\/tex], <\/p>\n

o que \u00e9 imposs\u00edvel pelo Teorema de Fermat.
\nPortanto, n\u00e3o existem ternos pitag\u00f3ricos formados por tr\u00eas quadrados perfeitos.<\/strong><\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n
\nPara conhecer um pouco mais sobre Fermat e seu \u00daltimo Teorema, visite esta sala<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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