{"id":106745,"date":"2018-07-12T14:04:35","date_gmt":"2018-07-12T17:04:35","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=106745"},"modified":"2023-05-02T04:31:51","modified_gmt":"2023-05-02T07:31:51","slug":"problemao-numeros-coprimos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-numeros-coprimos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: N\u00fameros coprimos"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p> Dois n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o ditos coprimos, ou primos entre si, se [tex]mdc(a,b)=1[\/tex].<br \/>\nEncontre a quantidade de n\u00fameros naturais menores do que [tex]216[\/tex] que s\u00e3o coprimos com este n\u00famero.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>O n\u00famero [tex]216[\/tex] pode ser fatorado na forma [tex]216=2^33^3[\/tex]. Observe que os n\u00fameros naturais positivos menores do que [tex]216[\/tex] que s\u00e3o coprimos com este n\u00famero s\u00e3o exatamente os n\u00fameros que n\u00e3o s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex].<br \/>\nPerceba que:<\/p>\n<ul>\n<li>o conjunto de m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]216[\/tex] cont\u00e9m [tex]108[\/tex] elementos <spam style=\"font-size:11px\">([tex]2=2\\times\\textcolor{red}{1} \\, ; \\, 4=2\\times\\textcolor{red}{2} \\, ; \\, \\cdots \\, ; \\, 216=2\\times\\textcolor{red}{108} \\, [\/tex])<\/span>, <\/li>\n<li>o conjunto de m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] cont\u00e9m [tex]72[\/tex] elementos <spam style=\"font-size:11px\">([tex]3=3\\times\\textcolor{blue}{1} \\, ; \\, 6=3\\times\\textcolor{blue}{2} \\, ; \\, \\cdots \\, ; \\, 216=3\\times\\textcolor{blue}{72} \\, [\/tex])<\/span>,<\/li>\n<li>e o conjunto de m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex], ou seja de [tex]6[\/tex], cont\u00e9m [tex]36[\/tex] elementos <spam style=\"font-size:11px\">([tex]6=6\\times\\textcolor{green}{1} \\, ; \\, 12=6\\times\\textcolor{green}{2} \\, ; \\, \\cdots \\, ; \\, 216=6\\times\\textcolor{green}{36} \\, [\/tex])<\/span>;<\/li>\n<\/ul>\n<p>assim, usando o fato de que a quantidade de elementos da uni\u00e3o de dois conjuntos \u00e9 a soma da quantidade de elementos de cada um menos a quantidade de elementos da intersec\u00e7\u00e3o destes conjuntos, segue que a quantidade de m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]216[\/tex] \u00e9 dada por [tex]108+72-36=144.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/venn.png\" alt=\"\" width=\"415\" height=\"311\" class=\"aligncenter size-full wp-image-106757\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/venn.png 415w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/venn-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 415px) 100vw, 415px\" \/><\/p>\n<p>Com isso, a quantidade de n\u00fameros entre [tex]1[\/tex] e [tex]216[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{216-144=72} \\, .[\/tex]<br \/>\nPortanto, a quantidade de n\u00fameros naturais menores do que [tex]216[\/tex] que s\u00e3o coprimos  com este n\u00famero \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$72$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Dois n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o ditos coprimos, ou primos entre si, se [tex]mdc(a,b)=1[\/tex]. Encontre a quantidade de n\u00fameros naturais menores do que [tex]216[\/tex] que s\u00e3o coprimos com este n\u00famero. Solu\u00e7\u00e3o O n\u00famero [tex]216[\/tex] pode ser fatorado na forma [tex]216=2^33^3[\/tex]. 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