{"id":106726,"date":"2018-07-12T12:54:27","date_gmt":"2018-07-12T15:54:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=106726"},"modified":"2023-05-02T04:32:17","modified_gmt":"2023-05-02T07:32:17","slug":"problemao-force-out","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-force-out\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Force out"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong> Force out<\/strong> \u00e9 um jogo para duas pessoas. Joga-se assim: <\/p>\n<ul>\n<li><strong><em>\u00c9 dado um n\u00famero natural e os jogadores subtraem dele, alternadamente, um n\u00famero natural de um \u00fanico algarismo diferente de zero.<br \/>\nPerde a partida o jogador for\u00e7ado a obter um zero.<\/em><\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Desenvolva uma estrat\u00e9gia para o jogador que inicia ganhar, quando o n\u00famero dado for [tex]43[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"c3\"><strong>O primeiro a jogar ganhar\u00e1 o jogo se chegar ao n\u00famero [tex]1[\/tex] primeiro, pois o advers\u00e1rio ser\u00e1 for\u00e7ado a retirar [tex]1[\/tex] e obter um zero.<\/strong> <\/p>\n<ul>\n<li>Para ter certeza de que chegar\u00e1 ao [tex]1[\/tex], o jogador n\u00e3o deve deixar que a vez do advers\u00e1rio ocorra com um n\u00famero entre [tex]2[\/tex] e [tex]10[\/tex], inclusive o [tex]2[\/tex] e o [tex]10 \\, .[\/tex] <span style=\"font-size:11px;\">(Observe que [tex]2-\\textcolor{red}{1}=\\boxed{1} \\, ; \\, 3-\\textcolor{red}{2}=\\boxed{1} \\, ; \\, 4-\\textcolor{red}{3}=\\boxed{1} \\, ; \\, \\cdots \\, ; \\, 10-\\textcolor{red}{9}=\\boxed{1} \\, .[\/tex])<\/span><br \/>\nAssim, o jogador deve chegar ao [tex]11[\/tex] primeiro que o advers\u00e1rio. <\/li>\n<li>Sempre trabalhando no sentido inverso, \u00e9 poss\u00edvel notar que o primeiro jogador deve obter n\u00fameros cujo algarismo das unidades seja [tex]1[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Agora, dado qualquer n\u00famero natural que n\u00e3o termina em [tex]1[\/tex]  (que \u00e9 justamente o caso do n\u00famero [tex]43[\/tex]),  \u00e9 evidente que subtraindo um dos n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]9[\/tex] sempre \u00e9 poss\u00edvel para o primeiro a jogar obter um resultado terminando em [tex]1[\/tex]. Na pr\u00f3xima jogada, o advers\u00e1rio teria que subtrair no m\u00ednimo [tex]10[\/tex] para obter um n\u00famero terminado em [tex]1[\/tex], mas essa opera\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 permitida. Logo, a pr\u00f3xima jogada do primeiro jogador ser\u00e1 com um n\u00famero n\u00e3o terminado em [tex]1[\/tex]. Repetindo o mesmo argumento v\u00e1rias vezes, o jogador que inicia chegar\u00e1  ao n\u00famero [tex]1[\/tex] e ganhar\u00e1 o jogo.<br \/>\nObserve que, caso o n\u00famero inicial termine em [tex]1[\/tex], o segundo a jogar poder\u00e1 realizar a estrat\u00e9gia descrita e ganhar\u00e1.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:10px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.) 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