{"id":105865,"date":"2018-07-11T11:20:31","date_gmt":"2018-07-11T14:20:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=105865"},"modified":"2024-06-02T02:43:05","modified_gmt":"2024-06-02T05:43:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-os-cantos-de-uma-tabela","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-os-cantos-de-uma-tabela\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Os cantos de uma tabela"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(Adaptado da Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola – 2004<\/strong>) Distribuiremos [tex]286[\/tex] n\u00fameros reais cuja soma \u00e9 [tex]144287[\/tex] em uma tabela retangular, de modo que todas as linhas dessa tabela, assim como a primeira e a \u00faltima colunas, sejam progress\u00f5es aritm\u00e9ticas<\/strong> com mais de um elemento.
\nDeterminar a soma dos elementos que ficar\u00e3o nos quatro cantos da tabela depois de constru\u00edda.\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

\n

A soma dos [tex]t \\, [\/tex] primeiros termos de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica [tex]\\left(x_1 \\, , \\, x_2 \\, , \\, x_3 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, x_t \\, , \\, \\cdots \\right)[\/tex] \u00e9 dada por: [tex]\\boxed{\\dfrac{\\left(x_1+x_t \\right)\\cdot t}{2}}[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nVamos dispor os [tex]286[\/tex] n\u00fameros reais em uma tabela com [tex]m[\/tex] linhas e [tex]n[\/tex] colunas e vamos escrever [tex]a_{ ij}[\/tex] para representar o n\u00famero que est\u00e1 na linha na linha [tex]i[\/tex] e na coluna [tex]j[\/tex] da tabela. Observe a tabela, na qual destacamos em vermelho os quatro n\u00fameros cuja soma queremos obter.<\/p>\n

[tex]\\left( \\begin{array}{cccc}
\n\\textcolor{red}{a_{11}} & a_{12} & \\cdots & \\textcolor{red}{a_{1n}}\\\\
\na_{21}&a_{22}&\\cdots &a_{2n}\\\\
\n\\cdots&\\cdots&\\cdots&\\cdots\\\\
\n\\textcolor{red}{a_{m1 }}&a_{ m2}&\\cdots &\\textcolor{red}{a_{ mn}}
\n\\end{array}\\right)[\/tex]<\/p>\n

Agora, sejam [tex]S_1 \\, [\/tex], [tex]S_2 \\, [\/tex], [tex]\\cdots \\, [\/tex], [tex]S_m \\, [\/tex] as somas dos elementos das linhas [tex]1 \\, [\/tex], [tex]2 \\, [\/tex], [tex]\\cdots \\, [\/tex], [tex]m \\, [\/tex], respectivamente. Como nas linhas da nossa tabela temos progress\u00f5es aritm\u00e9ticas, ent\u00e3o:<\/p>\n

[tex]\\qquad S_1=\\dfrac{\\left(a_{ 11}+a_{ 1n} \\right)\\cdot n}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad S_2=\\dfrac{\\left(a_{ 21}+a_{ 2n} \\right)\\cdot n}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots[\/tex]
\n[tex]\\qquad S_m=\\dfrac{\\left(a_{ m1}+a_{ mn} \\right)\\cdot n}{2}[\/tex]<\/p>\n

Somando membro a membro essas [tex]m \\, [\/tex] igualdades obteremos a soma dos [tex]286[\/tex] n\u00fameros reais iniciais, que \u00e9 [tex]144287[\/tex]; dessa forma, segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad S_1+S_2+\\cdots+ S_m=\\dfrac{\\left(a_{11 }+a_{ 1n} \\right)\\cdot n}{2}+ \\dfrac{\\left(a_{ 21}+a_{ 2n} \\right)\\cdot n}{2}+\\cdots+\\dfrac{\\left(a_{ m1}+a_{ mn} \\right)\\cdot n}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad 144287=\\dfrac{n}{2}\\left[\\left(a_{ 1}+a_{ 1n} \\right)+ \\left(a_{ 21}+a_{ 2n} \\right)+\\cdots+\\left(a_{ m1}+a_{ mn} \\right)\\right][\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad 144287=\\dfrac{n}{2}\\left[\\left(a_{ 11}+a_{ 21}+\\cdots+a_{ m1} \\right)+ \\left(a_{ 1n}+a_{ 2n}+\\cdots+a_{ mn} \\right)\\right] \\, .[\/tex]
\nMas a primeira e a \u00faltima colunas da nossa tabela tamb\u00e9m s\u00e3o progress\u00f5es aritm\u00e9ticas, ent\u00e3o:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad 144287=\\dfrac{n}{2}\\left[\\dfrac{\\left(a_{ 11}+a_{ m1} \\right)\\cdot m}{2}+ \\dfrac{\\left(a_{ 1n}+a_{ mn} \\right)\\cdot m}{2}\\right] \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad 144287=\\dfrac{n\\cdot m}{4}\\left[\\textcolor{red}{a_{ 11}}+\\textcolor{red}{a_{ m1}} + \\textcolor{red}{a_{ 1n}}+\\textcolor{red}{a_{ mn}}\\right] \\, .[\/tex]
\nPerceba agora que o produto [tex]n \\cdot m[\/tex] \u00e9 exatamente o n\u00famero de elementos que est\u00e3o distribu\u00eddos na tabela; assim, [tex]n \\cdot m=286[\/tex] e, portanto,
\n[tex]\\qquad 144287=\\dfrac{286}{4}\\left[\\textcolor{red}{a_{ 11}}+\\textcolor{red}{a_{ m1}} + \\textcolor{red}{a_{ 1n}}+\\textcolor{red}{a_{ mn}}\\right] \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{red}{a_{ 11}}+\\textcolor{red}{a_{ m1}} + \\textcolor{red}{a_{ 1n}}+\\textcolor{red}{a_{ mn}}=\\dfrac{4\\times 144287}{286}=2018 \\, .[\/tex]
\nAssim, a soma dos elementos que ficaram nos quatro cantos da tabela constru\u00edda \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2018$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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