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Problema \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n (b)<\/strong> Suponhamos que existissem dois n\u00fameros racionais positivos [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] tais que Mas isto \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o pois supomos que [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional e os n\u00fameros [tex]1+\\frac{\\sqrt{2}}{2}[\/tex] e [tex]1-\\frac{\\sqrt{2}}{2}[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o racionais. Portanto, o n\u00famero [tex]\\sqrt{2+\\sqrt{2}}[\/tex] n\u00e3o pode ser escrito como soma de radicais simples.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Uma soma de radicais simples \u00e9 uma express\u00e3o da forma [tex]\\boxed{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}[\/tex], com [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] denotando n\u00fameros racionais positivos. (a) Transforme em soma de radicais simples o n\u00famero [tex]\\sqrt{7+\\sqrt{24}}[\/tex]. (b) Mostre que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel transformar em soma de radicais simples o n\u00famero [tex]\\sqrt{2+\\sqrt{2}}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nUma soma de radicais simples<\/strong> \u00e9 uma express\u00e3o da forma [tex]\\boxed{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}}[\/tex], com [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] denotando n\u00fameros racionais positivos.
\n(a)<\/strong> Transforme em soma de radicais simples o n\u00famero [tex]\\sqrt{7+\\sqrt{24}}[\/tex].
\n(b)<\/strong> Mostre que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel transformar em soma de radicais simples o n\u00famero [tex]\\sqrt{2+\\sqrt{2}}[\/tex].\n<\/div>\n
\n\t(a)<\/strong> Procuramos por dois n\u00fameros racionais positivos [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] tais que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\sqrt{7+\\sqrt{24}}=\\sqrt{x}+\\sqrt{y}[\/tex].
\nElevando ambos os membros dessa equa\u00e7\u00e3o ao quadrado, encontramos
\n[tex]\\qquad \\qquad 7+\\sqrt{24}=x+y+2\\sqrt{x}\\sqrt{y}=x+y+\\sqrt{4xy}[\/tex].
\nComo [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o racionais, ent\u00e3o segue que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{cases} x+y=7\\\\
\n 4xy=24\\end{cases}[\/tex].
\nPodemos isolar [tex]y=\\dfrac{6}{x}[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o, substituir na primeira e obter
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad x+\\dfrac{6}{x}=7 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ x^2-7x+6=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ x=6[\/tex] ou [tex]x=1[\/tex]
\nSubstituindo estes valores para [tex]x[\/tex] nas equa\u00e7\u00f5es originais encontramos os pares de solu\u00e7\u00e3o "[tex]x=6[\/tex] e [tex]y=1[\/tex]" ou "[tex]x=1[\/tex] e [tex]y=6[\/tex]". Em qualquer um dos casos,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\sqrt{7+\\sqrt{24}}=\\sqrt{6}+\\sqrt{1}=\\sqrt{6}+1$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\sqrt{2+\\sqrt{2}}=\\sqrt{x}+\\sqrt{y}[\/tex].
\nEnt\u00e3o,
\n[tex]\\qquad \\qquad 2+\\sqrt{2}=x+y+2\\sqrt{x}\\sqrt{y}=x+y+\\sqrt{4xy}[\/tex].
\nComo [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o racionais, ent\u00e3o segue que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{cases} x+y=2\\\\
\n 4xy=2 \\end{cases}[\/tex].
\nPodemos isolar [tex]y=\\dfrac{1}{2x}[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o, substituir na primeira e obter
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad x+\\dfrac{1}{2x}=2 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ 2x^2-4x+1=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ x=1+\\frac{\\sqrt{2}}{2}[\/tex] ou [tex]x=1-\\frac{\\sqrt{2}}{2}[\/tex].<\/p>\n
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