Problema O gr\u00e1fico de barras abaixo exibe a distribui\u00e7\u00e3o das idades dos jovens presentes em um Encontro Ol\u00edmpico de Matem\u00e1tica.<\/p>\n a)<\/strong> Mostre que, nesse grupo, a idade m\u00e9dia dos homens \u00e9 igual \u00e0 idade m\u00e9dia das mulheres. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n a)<\/strong> Seja [tex]M_H[\/tex] a m\u00e9dia das idades dos homens e [tex]M_M[\/tex] a m\u00e9dia das idades das mulheres. Dessa forma, b)<\/strong> De modo a reduzir as contas, utilizaremos a ideia de probabilidade complementar para responder a este item: calcularemos a probabilidade de a soma das idades ser maior do que ou igual a [tex]36[\/tex] anos (s\u00e3o poucos casos) e aplicaremos o c\u00e1lculo de probabilidade complementar. Vamos, ent\u00e3o, considerar cada um dos eventos disjuntos a seguir, para contar os casos favor\u00e1veis para obter soma maior do que ou igual a [tex]36[\/tex]:<\/p>\n Assim, s\u00e3o [tex]\\boxed{9+5+3=17}[\/tex] casos favor\u00e1veis \u00e0 soma das idades ser igual a ou maior do que [tex]36[\/tex] e existem [tex]\\boxed{18\\times 16}[\/tex] duplas no total. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) O gr\u00e1fico de barras abaixo exibe a distribui\u00e7\u00e3o das idades dos jovens presentes em um Encontro Ol\u00edmpico de Matem\u00e1tica. a) Mostre que, nesse grupo, a idade m\u00e9dia dos homens \u00e9 igual \u00e0 idade m\u00e9dia das mulheres. b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/problemao.png\")
<\/p>\n
\nb)<\/strong> Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma das idades seja menor que [tex]36[\/tex] anos.<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad \\boxed {M_H=\\dfrac{5\\times 15+4\\times 16+5\\times 17+3\\times 18+19}{5+4+5+3+1}=\\dfrac{297}{18}=16,5 \\, anos}[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\boxed {M_M=\\dfrac{3\\times 15+5\\times 16+5\\times 17+3\\times 18}{3+5+5+3}=\\dfrac{264}{16}=16,5 \\, anos}.[\/tex] <\/p>\n
\nPara tal, veja que ao considerarmos que a soma das idades \u00e9 maior do que ou igual a [tex]36[\/tex] anos, temos apenas duas situa\u00e7\u00f5es: a soma pode ser [tex]36[\/tex] ou [tex]37[\/tex], j\u00e1 os dados apresentados permitem apenas essas duas somas. Assim, vamos considerar essas situa\u00e7\u00f5es: <\/p>\n\n
\n
i)<\/strong> Escolher um homem e uma mulher de [tex]18[\/tex] anos:
\nNote que existem [tex]3[\/tex] homens e [tex]3[\/tex] mulheres com [tex]18[\/tex] anos, assim podem ser formadas [tex]\\boxed{3\\times 3=9}[\/tex] duplas cuja soma das idades seja [tex]36[\/tex].
\nii)<\/strong> Escolher um homem de [tex]19[\/tex] anos e uma mulher de [tex]17[\/tex] anos:
\nDe modo an\u00e1logo ao caso anterior, podem ser formadas [tex]\\boxed{1\\times 5=5}[\/tex] duplas, pois a quantidade de homens com [tex]19[\/tex] anos \u00e9 [tex]1[\/tex] e a de mulheres com [tex]17[\/tex] anos \u00e9 [tex]5[\/tex].
\niii)<\/strong> Escolher um homem de [tex]19[\/tex] anos e uma mulher de [tex]18[\/tex] anos:
\nNeste caso, podem ser formadas [tex]\\boxed{1\\times 3=3}[\/tex] duplas, pois a quantidade de homens com [tex]19[\/tex] anos \u00e9 [tex]1[\/tex] e a de mulheres com [tex]18[\/tex] anos \u00e9 [tex]3 \\, .[\/tex]<\/ul>\n<\/ul>\n
\nDessa forma, a probabilidade de a soma ser maior do que ou igual a [tex]36[\/tex] \u00e9 dada por [tex] \\, \\fcolorbox{#800000}{#ffffff}{$\\textcolor{#800000}{P_{S\\geqslant 36}=\\dfrac{17}{18\\times 16}}$} \\, .[\/tex]
\nPara concluirmos a quest\u00e3o, basta observar que a probabilidade de que a soma das idades seja menor que [tex]36[\/tex] anos pode ser assim calculada:
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P_{S\\lt36}=1-P_{S\\geq 36}=1-\\dfrac{17}{18\\times 16}=\\dfrac{271}{288}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n