\n
Problema Um prisioneiro recebe 50 bolas brancas e 50 bolas pretas. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Suponha que a primeira urna receba [tex]\\boxed{\\textcolor{blue}{k}}[\/tex] bolas, das quais [tex]\\boxed{\\textcolor{blue}{a}}[\/tex] s\u00e3o brancas. Assim, a segunda urna fica com [tex]\\boxed{\\textcolor{red}{100-k}}[\/tex], das quais [tex]\\boxed{\\textcolor{red}{50-a}}[\/tex] s\u00e3o brancas. [tex]\\underbrace{\\dfrac{1}{2}\\cdot\\textcolor{blue}{\\dfrac{a}{k}}}_{\\substack{\\text{caso ele escolha}\\\\ \\text{a primeira urna}}}+\\underbrace{\\dfrac{1}{2}\\cdot\\textcolor{red}{\\dfrac{50-a}{100-k}}}_{\\substack{\\text{caso ele escolha}\\\\ \\text{a segunda urna}}}[\/tex], <\/p>\n ou seja, <\/p>\n [tex]P=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{a}{k}+\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{50-a}{100-k}=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(\\dfrac{a}{k}+\\dfrac{50-a}{100-k}\\right)=\\boxed{\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{50k+a(100-2k)}{k(100-k)}}[\/tex]. <\/p>\n [tex] \\, \\, \\\\ independentemente do valor de [tex]a[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n Vamos estudar os casos em que [tex]k \\lt 50[\/tex] (a primeira urna recebeu menos bolas). O outro caso (a segunda urna com menos bolas) ser\u00e1 inteiramente an\u00e1logo.<\/p>\n Assim, conclu\u00edmos que, para maximizar a probabilidade de ser liberado, o prisioneiro deve distribuir as bolas colocando apenas uma bola branca em uma das urnas e todas as demais bolas ([tex]49[\/tex] brancas e [tex]50[\/tex] pretas) na segunda urna. Neste caso, a probabilidade de o prisioneiro ser libertado \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$75\\%$} \\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um prisioneiro recebe 50 bolas brancas e 50 bolas pretas. O prisioneiro deve distribuir essas bolas em duas urnas, do modo que preferir, mas de modo que nenhuma das duas urnas fique vazia. As urnas ser\u00e3o embaralhadas e o prisioneiro dever\u00e1, de olhos fechados, escolher … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nO prisioneiro deve distribuir essas bolas em duas urnas, do modo que preferir, mas de modo que nenhuma das duas urnas fique vazia. As urnas ser\u00e3o embaralhadas e o prisioneiro dever\u00e1, de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, uma bola.
\nSe a bola for branca, ele ser\u00e1 libertado; caso contr\u00e1rio, ele ser\u00e1 condenado.
\nDe que modo o prisioneiro deve distribuir as bolas nas urnas para que a probabilidade de ser liberado seja m\u00e1xima?<\/p>\n
\n
\nEnt\u00e3o a probabilidade [tex]P[\/tex] de o prisioneiro ser libertado \u00e9:<\/p>\n\n
\nP= \\dfrac{1} {2} \\cdot \\dfrac {50\\cdot 50 + a(100-2\\cdot 50)}{50\\cdot (100-50)}= \\dfrac{1} {2} \\cdot\\dfrac{50\\cdot 50-a\\cdot 0}{50\\cdot 50}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 1=\\dfrac {1}{2}[\/tex], <\/p>\n\n
\n Assim, quanto maior for o valor de [tex]a[\/tex], maior ser\u00e1 a probabilidade de o prisioneiro ser libertado. Logo, para a probabilidade de liberdade ser m\u00e1xima, devemos ter [tex]a=k[\/tex] (isto significa que todas as bolas da primeira urna s\u00e3o brancas). Neste caso, a probabilidade ser\u00e1:
\n[tex] \\, \\, \\\\
\n\\qquad \\begin{align*} P &=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{50k+a(100-2k)}{k(100-k)}\\\\
\n&=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{50k+k(100-2k)}{k(100-k)}\\\\
\n&=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{150k-2k^2}{k(100-k)}\\\\
\n&=\\dfrac{75-k}{100-k}\\\\
\n&=1-\\dfrac{25}{100-k}.
\n\\end{align*}\\\\
\n \\, \\, \\\\[\/tex]
\nPerceba que esse valor ser\u00e1 m\u00e1ximo quando [tex]k[\/tex] for m\u00ednimo. Portanto, como n\u00e3o podemos ter urnas vazias, [tex]k[\/tex] m\u00ednimo \u00e9 [tex]k=1[\/tex], e a probabilidade m\u00e1xima \u00e9 [tex]\\boxed{P=1-\\dfrac{25}{100-1}=\\dfrac{74}{99}} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n