{"id":105354,"date":"2018-06-20T18:30:09","date_gmt":"2018-06-20T21:30:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=105354"},"modified":"2024-06-02T02:24:42","modified_gmt":"2024-06-02T05:24:42","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-a-corda-de-uma-circunferencia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-a-corda-de-uma-circunferencia\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola:  A corda de uma circunfer\u00eancia"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219567\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Fixado um sistema ortogonal de eixos [tex]xOy[\/tex], sabe-se que o ponto [tex]M=(2,1)[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio de uma corda [tex]\\overline{AB}[\/tex] da circunfer\u00eancia definida por<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad \\qquad \\qquad  \\boxed{ (x-1)^2+y^2=4}[\/tex].<br \/>\nQual a equa\u00e7\u00e3o da reta que cont\u00e9m os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:98%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(1)<\/strong> <\/span> Ao representarmos uma reta [tex]r[\/tex] em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], podemos associar equa\u00e7\u00f5es a essa reta. Das v\u00e1rias formas de representarmos algebricamente [tex]r[\/tex], duas s\u00e3o mais conhecidas:<br \/>\n<strong>Equa\u00e7\u00e3o geral<\/strong>: equa\u00e7\u00e3o do tipo [tex]\\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ ax+by+c=0$}[\/tex] que \u00e9 satisfeita por todos os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] pertencentes a [tex]r.[\/tex]<br \/>\n<strong>Equa\u00e7\u00e3o reduzida<\/strong>: equa\u00e7\u00e3o associada \u00e0 reta [tex]r[\/tex] e que \u00e9 obtida da sua equa\u00e7\u00e3o geral, [tex]ax+by+c=0[\/tex], se [tex]b\\ne 0.[\/tex] Relembre:<\/p>\n<p style=\"text-align:center; margin:10px;\">[tex]ax+by+c=0 \\Leftrightarrow  by=-ax-c \\stackrel{\\textcolor{#800000}{b \\ne 0}}{\\Longrightarrow} y=\\underbrace{\\left(-\\dfrac{a}{b}\\right)}_{m}x+\\underbrace{\\left(-\\dfrac{c}{b}\\right)}_{n} \\Longrightarrow \\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ y=mx+n $}[\/tex]<\/p>\n<p>Particularmente, o coeficiente [tex]m[\/tex] \u00e9 denominado o coeficiente angular e [tex]n[\/tex] \u00e9 o coeficiente linear da reta em quest\u00e3o. Geometricamente:<\/p>\n<ul>\n<li>A condi\u00e7\u00e3o [tex]b\\ne 0[\/tex] significa que a reta [tex]r[\/tex] n\u00e3o \u00e9 vertical, ou seja, n\u00e3o \u00e9 paralela ao eixo [tex]Oy.[\/tex] Assim, retas n\u00e3o verticais t\u00eam as duas formas de equa\u00e7\u00e3o: a geral e a reduzida.<\/li>\n<li>O coeficiente angular [tex]m[\/tex] est\u00e1 associado ao declive da reta, isto \u00e9, ao \u00e2ngulo que a reta define com o eixo horizontal  [tex]Ox.[\/tex] <\/li>\n<li>O coeficiente linear [tex]n[\/tex] est\u00e1 associado ao ponto em que a reta intersecta o eixo [tex]Oy.[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(2)<\/strong> <\/span> Duas retas n\u00e3o verticais s\u00e3o perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for [tex]-1.[\/tex] Retas verticais distintas s\u00e3o sempre paralelas.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(3)<\/strong> <\/span> Tamb\u00e9m podemos associar equa\u00e7\u00f5es a uma circunfer\u00eancia [tex]c[\/tex] representada em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex]. Neste problema utilizaremos a chamada equa\u00e7\u00e3o reduzida de [tex]c[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad \\quad \\qquad\\qquad \\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ \\left(x-a\\right)^2+ \\left(y-b\\right)^2=r^2$}[\/tex]<br \/>\nque \u00e9 satisfeita por todos os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] pertencentes a [tex]c.[\/tex]<br \/>\nDois elementos importantes da circunfer\u00eancia [tex]c[\/tex] aparecem explicitamente nessa equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<ul>\n<li>as coordenadas do centro da circunfer\u00eancia: [tex]C=(a,b)[\/tex],<\/li>\n<li> o comprimento do raio da circunfer\u00eancia: [tex]r[\/tex] .<\/li>\n<\/ul>\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(4)<\/strong> <\/span> <strong>Caso de congru\u00eancia L.L.L. (lado &#8211; lado &#8211; lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes os tr\u00eas lados, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.<span style=\"font-size:11px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=92799\" target=\"_blank\" title=\"Sala para leitura: Um pouco sobre congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos\"> <strong>AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Observe, inicialmente, que, de acordo com o <strong>Lembrete <span class=\"c3\"> (3)<\/span><\/strong>, o centro da circunfer\u00eancia dada no problema \u00e9 o ponto [tex]C=(1,0)[\/tex].<br \/>\nVamos determinar a equa\u00e7\u00e3o da reta [tex]r[\/tex] que cont\u00e9m os pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], a partir da reta [tex]s[\/tex] determinada pelos pontos [tex]C=(1,0)[\/tex] e [tex]M=(2,1)[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"483\" height=\"466\" class=\"aligncenter size-full wp-image-104976\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174.png 483w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174-300x289.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 483px) 100vw, 483px\" \/><\/p>\n<p>Vejamos, ent\u00e3o, como obter a equa\u00e7\u00e3o da reta [tex]s[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>Como as primeiras coordenadas de [tex]C[\/tex] e de [tex]M [\/tex] s\u00e3o distintas ([tex]1 \\ne 2[\/tex]), a reta [tex]s[\/tex] n\u00e3o \u00e9 vertical e, portanto, [tex]s[\/tex] tem equa\u00e7\u00e3o reduzida:<br \/>\n[tex]\\qquad y=m_sx+n_s. \\qquad \\textcolor{#800000}{(s)}[\/tex]<\/li>\n<li>Por outro lado, [tex]C[\/tex] e [tex]M [\/tex] s\u00e3o pontos de [tex]s[\/tex]; assim, suas coordenadas satisfazem a equa\u00e7\u00e3o de [tex]s[\/tex]. Logo:<br \/>\n[tex]\\qquad 0=m_s \\cdot 1+n_s\\\\<br \/>\n\\qquad 0=m_s+n_s \\\\<br \/>\n\\qquad n_s=-m_s \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}\\qquad \\qquad  [\/tex] e  [tex]\\qquad \\qquad 1=m_s \\cdot 2+n_s \\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 1=2m_s+n_s. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<p>De [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e de [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 1=2m_s+n_s[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 1=2m_s-m_s[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad m_s=1[\/tex]<br \/>\ne, portanto, [tex]n_s=-1.[\/tex]<\/ul>\n<p>Consequentemente, temos a equa\u00e7\u00e3o reduzida de [tex]s[\/tex]: [tex]\\boxed{y=x-1}.[\/tex]<br \/>\nVoc\u00ea pode estar se perguntando porque vamos utilizar a reta [tex]s[\/tex]. A resposta \u00e9 simples: <\/p>\n<ul>\n<ul> As retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares; logo, pelo <strong>Lembrete <span class=\"c3\"> (2)<\/span><\/strong>, j\u00e1 temos o coeficiente angular da reta [tex]r.[\/tex] E como sabemos que [tex]M[\/tex] \u00e9 ponto de [tex]r[\/tex], conseguimos a equa\u00e7\u00e3o de [tex]r[\/tex], sem muitos problemas.<\/ul>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174_1.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"330\" height=\"335\" class=\"alignright size-full wp-image-104984\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174_1.png 330w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob174_1-296x300.png 296w\" sizes=\"auto, (max-width: 330px) 100vw, 330px\" \/><br \/>\nDessa forma, precisamos mostrar que, de fato, [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares. Para tanto observe a pr\u00f3xima figura, na qual destacamos a circunfer\u00eancia definida no problema, os pontos [tex]A,B,C,M[\/tex] e os tri\u00e2ngulos [tex]AMC[\/tex] e [tex]BMC.[\/tex]<br \/>\nPerceba que:<\/p>\n<ul>\n<li> Os segmentos [tex]\\overline{CA}[\/tex] e [tex]\\overline{CB}[\/tex] s\u00e3o raios da circunfer\u00eancia do problema, portanto t\u00eam a mesma medida.<\/li>\n<li> [tex]M[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex], logo os segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex] e [tex]\\overline{MB}[\/tex]  t\u00eam a mesma medida.<\/li>\n<li> O segmento [tex]\\overline{CM}[\/tex] \u00e9 comum aos dois tri\u00e2ngulos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Desse modo, pelo <strong>Lembrete <span class=\"c3\"> (4)<\/span><\/strong>, os tri\u00e2ngulos [tex]AMC[\/tex] e [tex]BMC[\/tex] s\u00e3o congruentes e, consequentemente, os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{M}C[\/tex] e [tex]B\\hat{M}C[\/tex] t\u00eam a mesma medida. Como esses \u00e2ngulos s\u00e3o suplementares (a soma de suas medidas \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]), ent\u00e3o cada \u00e2ngulo mede [tex]90^{\\circ}[\/tex] e, com isso, os segmentos [tex]\\overline{AM}[\/tex] e [tex]\\overline{CM}[\/tex] (e consequentemente as retas  [tex]s[\/tex] e  [tex]s[\/tex]) s\u00e3o perpendiculares.<br \/>\nPronto, j\u00e1 podemos determinar a equa\u00e7\u00e3o da reta [tex]r[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li>Como [tex]s[\/tex] n\u00e3o \u00e9 uma reta horizontal e [tex]r[\/tex] \u00e9 perpendicular a [tex]s[\/tex], ent\u00e3o [tex]r[\/tex] n\u00e3o \u00e9 vertical e, portanto, tem equa\u00e7\u00e3o reduzida:<br \/>\n[tex]\\qquad y=m_rx+n_r. \\qquad \\textcolor{#800000}{(r)}[\/tex]<\/li>\n<li>Como [tex]s[\/tex] e [tex]r[\/tex] s\u00e3o perpendiculares, ent\u00e3o, pelo <strong>Lembrete <span class=\"c3\"> (2)<\/span><\/strong>, [tex]m_r \\cdot m_s=-1[\/tex]. Da equa\u00e7\u00e3o reduzida de [tex]s[\/tex],[tex]\\boxed{y=x-1}[\/tex], obtemos que [tex]m_s=1[\/tex], logo [tex]m_r =-1[\/tex]. Dessa forma, podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o reduzida de [tex]r[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad y=-x+n_r. \\qquad \\textcolor{#800000}{(r)}[\/tex]<\/li>\n<li>Sabemos que [tex]M=(2,1)[\/tex] \u00e9 um ponto de [tex]r[\/tex]; assim, suas coordenadas satisfazem a equa\u00e7\u00e3o de [tex]r[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad 1=-2+n_r \\\\<br \/>\n\\qquad n_r=3.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Deste modo, a equa\u00e7\u00e3o reduzida da reta [tex]r[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-x+3$}\\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/A-corda-de-uma-circunfer\u00eancia.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ A corda de uma circunfer\u00eancia.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Fixado um sistema ortogonal de eixos [tex]xOy[\/tex], sabe-se que o ponto [tex]M=(2,1)[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio de uma corda [tex]\\overline{AB}[\/tex] da circunfer\u00eancia definida por [tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad \\qquad \\qquad \\boxed{ (x-1)^2+y^2=4}[\/tex]. Qual a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-a-corda-de-uma-circunferencia\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-105354","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/105354","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=105354"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/105354\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219569,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/105354\/revisions\/219569"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=105354"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}