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Problema Um campeonato de futebol ser\u00e1 disputado por cinco equipes [tex]A, B, C, D[\/tex] e [tex]E[\/tex] com as seguintes regras de pontua\u00e7\u00e3o: <\/p>\n Sabendo-se que cada equipe jogar\u00e1 com as demais exatamente uma vez, responda: \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \tPrimeiramente, observemos que durante todo o campeonato ser\u00e3o realizados [tex]10[\/tex] jogos: <\/p>\n [tex]A\\times B \\, \\, , \\, \\, A\\times C \\, \\, , \\, \\, A\\times D \\, \\, , \\, \\, A\\times E \\, \\, , \\, \\, B\\times C \\\\ Um jogo com um vencedor acrescenta [tex]3[\/tex] pontos na soma da pontua\u00e7\u00e3o geral (os tr\u00eas pontos do vitorioso) e um jogo com um empate acrescenta [tex]2[\/tex] pontos na pontua\u00e7\u00e3o geral (um ponto para cada equipe envolvida neste empate). Assim, se denotarmos por [tex]e[\/tex] o n\u00famero de empates<\/strong><\/span> e por [tex]v[\/tex] o n\u00famero de vit\u00f3rias<\/strong><\/span>, podemos obter uma f\u00f3rmula para a soma [tex]S[\/tex] de todas as pontua\u00e7\u00f5es obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competi\u00e7\u00e3o: (a)<\/strong> No caso de n\u00e3o haver empates, ent\u00e3o [tex]e=0[\/tex] e, assim, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que: (b)<\/strong> Neste caso temos [tex]S=26[\/tex] e queremos calcular [tex]e \\, .[\/tex] Logo, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Um campeonato de futebol ser\u00e1 disputado por cinco equipes [tex]A, B, C, D[\/tex] e [tex]E[\/tex] com as seguintes regras de pontua\u00e7\u00e3o: uma vit\u00f3ria vale [tex]3[\/tex] pontos, um empate vale [tex]1[\/tex] ponto, derrotas n\u00e3o contabilizam pontos. Sabendo-se que cada equipe jogar\u00e1 com as demais exatamente uma … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\n(a)<\/strong> Se n\u00e3o houver empates, qual ser\u00e1 a soma das pontua\u00e7\u00f5es obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competi\u00e7\u00e3o? E se houver exatamente cinco empates?
\n(b)<\/strong> Se as pontua\u00e7\u00f5es obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competi\u00e7\u00e3o somarem [tex]26[\/tex] pontos, quantos empates ter\u00e3o ocorrido durante o campeonato?<\/p>\n
\n
\n B\\times D \\, \\, , \\, \\, B\\times E \\, \\, , \\, \\, C\\times D \\, \\, , \\, \\, C\\times E \\, \\, , \\, \\, D\\times E[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad S=2e+3v.[\/tex]
\nObserve que [tex]v+e=10[\/tex]; assim, [tex]\\boxed{v=10-e} \\, [\/tex] e, portanto:
\n[tex]\\qquad S=2e+3(10-e).\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=3\\times10=30$} \\, .[\/tex]
\nQuando houver [tex]5[\/tex] empates, [tex]e=5[\/tex]; portanto, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=2\\times 5+3\\times 5=25$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad 26=2e+3(10-e)=30-e \\, [\/tex],
\nou seja, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$e=4$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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