\n
Problema Determine se as afirmativas a seguir s\u00e3o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.<\/p>\n (a)<\/strong> [tex]A\\supset B.[\/tex] \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n (b)<\/strong> A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa<\/strong>. \n (c)<\/strong> A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira<\/strong>. Assim, [tex]b=\\dfrac{b}{1}[\/tex], com [tex]b\\, ,\\, 1\\, \\in \\mathbb{Z}\\, , 1 \\ne 0\\, [\/tex], e [tex]b[\/tex] e [tex]1[\/tex] primos entre si. \n (d)<\/strong> A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa<\/strong>. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Considere os seguintes subconjuntos de [tex]\\mathbb{R}:[\/tex] [tex]\\qquad A\\ =\\ \\{a\\,\\, |\\,\\, a=2n-1, \\,\\, n\\,\\, \\in\\,\\, \\mathbb{Z} \\}[\/tex] [tex]\\qquad B=\\ \\{b\\,\\, |\\,\\, b \\,\\, \u00e9\\,\\, n\u00famero\\,\\, natural \\,\\, e \\,\\, primo\\}[\/tex] [tex]\\qquad C=\\left\\{ c\\,\\, | \\,\\, c=\\frac{p}{q},\\,\\, p,\\,\\, \\,\\, q \\,\\, \\in\\ \\mathbb{Z},\\,\\, q\\neq 0, \\,\\, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nConsidere os seguintes subconjuntos de [tex]\\mathbb{R}:[\/tex]
\n[tex]\\qquad A\\ =\\ \\{a\\,\\, |\\,\\, a=2n-1, \\,\\, n\\,\\, \\in\\,\\, \\mathbb{Z} \\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad B=\\ \\{b\\,\\, |\\,\\, b \\,\\, \u00e9\\,\\, n\u00famero\\,\\, natural \\,\\, e \\,\\, primo\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad C=\\left\\{ c\\,\\, | \\,\\, c=\\frac{p}{q},\\,\\, p,\\,\\, \\,\\, q \\,\\, \\in\\ \\mathbb{Z},\\,\\, q\\neq 0, \\,\\, p\\,\\, e\\,\\, q\\,\\, primos\\,\\, entre\\,\\, si\\right\\}[\/tex]<\/p>\n
\n(b)<\/strong> Se [tex]b_1\\, ,\\, b_2 \\, \\in \\, B,[\/tex] ent\u00e3o [tex]b_1+b_2\\, \\in B.[\/tex]
\n(c)<\/strong> [tex]B \\subset C[\/tex].
\n(d)<\/strong> [tex]\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\in\\ C.[\/tex] <\/p>\n
\n(a)<\/strong> A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa<\/strong>.
\nObserve que [tex]A[\/tex] \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros inteiros \u00edmpares.
\nVeja tamb\u00e9m que [tex]2\\in B[\/tex], mas [tex]2\\notin A[\/tex]; logo, [tex]B \\not\\subset A\\, [\/tex], ou seja, [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$A\\not\\supset B$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
\nPara justificar a falsidade da afirma\u00e7\u00e3o, vamos mostrar um contraexemplo: observe que [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$3\\, ,\\, 5 \\ \\in\\ B$}\\, [\/tex], mas [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$3+5=8 \\not\\in B$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
\nPara justificar a veracidade da afirma\u00e7\u00e3o temos que garantir que todo elemento de [tex]B[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m elemento de [tex]C\\, .[\/tex]
\nPara tanto, seja [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$b \\in B$}\\, [\/tex]; assim, [tex]b[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural primo.
\nAgora, observe que:<\/p>\n\n
\nPortanto [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$b \\in C$}\\, [\/tex], o que garante que, de fato, todo elemento de [tex]B[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m elemento de [tex]C\\, .[\/tex]<\/p>\n
\nAqui, vamos raciocinar por contradi\u00e7\u00e3o: vamos supor que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira e mostrar que essa suposi\u00e7\u00e3o acarreta uma contradi\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica.
\nSuponhamos, ent\u00e3o, que a afirma\u00e7\u00e3o fosse verdadeira. Assim, seria poss\u00edvel encontrar [tex]p,q\\in\\mathbb{Z}[\/tex] (com [tex]q\\neq 0[\/tex]) tais que [tex]\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=\\dfrac{p}{q}[\/tex].
\nDa\u00ed, ter\u00edamos [tex]\\sqrt{3}=\\dfrac{3p}{q}[\/tex] com [tex] 3p,q\\in\\mathbb{Z}\\, [\/tex] e, portanto, [tex]\\sqrt3[\/tex] seria um n\u00famero racional. Mas isto \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que sabemos que [tex]\\sqrt3[\/tex] \u00e9 irracional.
\nTal contradi\u00e7\u00e3o veio de assumirmos como verdadeira a afirma\u00e7\u00e3o de que [tex]\\boxed{\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\ \\in\\ C}\\, [\/tex]; portanto, [tex]\\fcolorbox{#aaaaaa}{#E8E8E8}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} \\not\\in C $}\\, [\/tex].<\/p>\n
\n