{"id":104482,"date":"2018-06-06T23:40:42","date_gmt":"2018-06-07T02:40:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=104482"},"modified":"2024-06-02T02:16:04","modified_gmt":"2024-06-02T05:16:04","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-novelicos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-novelicos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros nov\u00e9licos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219555\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nDiremos que um n\u00famero natural \u00e9  <strong>nov\u00e9lico<\/strong> se a soma dos seus algarismos for divis\u00edvel por nove.<br \/>\nQuantos n\u00fameros nov\u00e9licos de tr\u00eas algarismos, todos pares, existem?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]x[\/tex] um n\u00famero natural nov\u00e9lico com exatamente tr\u00eas algarismos, todos pares. Nesse caso, sejam [tex]a \\, , \\, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] os algarismos de [tex]x[\/tex], n\u00e3o necessariamente distintos.<br \/>\nEm um n\u00famero natural nov\u00e9lico de tr\u00eas algarismos a soma dos seus algarismos \u00e9 divis\u00edvel por nove, assim, a princ\u00edpio, [tex] a+b+c [\/tex] pode ser [tex]0, \\, 9,  \\, 18,  \\, 27,  \\, 36,  \\, \\cdots . [\/tex]<br \/>\nMas observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]a \\, , \\,  b \\, [\/tex] e [tex] \\, c[\/tex] s\u00e3o algarismos e, assim, [tex]0\\le a \\, , \\, b \\, ,c \\le 9[\/tex], donde [tex]0 \\le a+b+c \\le 27[\/tex];<\/li>\n<li>por outro lado, [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero de tr\u00eas algarismos; logo seu primeiro algarismo \u00e9 diferente de zero e, com isso, [tex]a+b+c\\ne 0[\/tex];<\/li>\n<li>tamb\u00e9m sabemos que os algarismos s\u00e3o pares; dessa forma, [tex] a \\le 8 \\, ;  \\, b\\le 8 \\, [\/tex] e [tex] \\, c \\le 8[\/tex], donde [tex]a+b+c \\le 24[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo at\u00e9 aqui exposto, podemos concluir que  [tex]0 \\lt a+b+c \\le 24 [\/tex], com [tex] a, \\, b, \\, c \\in \\left\\{ 0, 2, 4, 6, 8 \\right \\} \\, [\/tex] e sendo um deles n\u00e3o nulo. <\/p>\n<ul>\n<li>Mas, explorando a paridade dos algarismos [tex] a, \\, b \\, [\/tex] e  [tex] \\, c[\/tex], podemos concluir que a soma [tex]a+b+c[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par, j\u00e1 que as tr\u00eas parcelas s\u00e3o algarismos pares. Dos m\u00faltiplos de nove, o \u00fanico que se enquadra nessas condi\u00e7\u00f5es \u00e9 o [tex]18[\/tex], consequentemente, [tex]a+b+c=18[\/tex].<br \/>\nSabendo que [tex]a+b+c=18[\/tex], podemos afirmar que nenhum dos algarismos de [tex]x[\/tex] pode ser [tex]0 \\, .[\/tex] Com efeito, se um dos algarismo de [tex]x[\/tex] fosse [tex]0 \\, [\/tex], necessariamente a soma dos outros dois seria [tex]18[\/tex]. Mas a \u00fanica forma de a soma de dois algarismos ser [tex]18[\/tex] seria que ambos fossem iguais a [tex]9[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel no nosso caso, j\u00e1 que estamos trabalhando com algarismos pares. Isso  mostra que, realmente, os algarismos de [tex]x[\/tex] s\u00e3o distintos de [tex]0 \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, s\u00e3o estas as informa\u00e7\u00f5es que temos para solucionar o problema:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{#800000}{#E8E8E8}{$a+b+c=18 \\text{, com } a, \\, b, \\, c \\in \\left\\{2, 4, 6, 8 \\right \\}$} \\, .[\/tex]<br \/>\nNa tabela a seguir, apresentamos todas as poss\u00edveis escolhas dos algarismos que atendem a essas duas caracter\u00edsticas e destacamos os respectivos n\u00fameros nov\u00e9licos.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex] \\begin{array}{|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\text{algarismos utilizados} &#038; \\text{n\u00fameros nov\u00e9licos}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n2 \\, ; \\, 8 \\, ; \\, 8 &#038;\\boxed{288} \\, ; \\, \\boxed{828} \\, ; \\, \\boxed{882}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n4 \\, ; \\, 6 \\, ; \\, 8 &#038;\\boxed{468} \\, ; \\, \\boxed{486} \\, ; \\, \\boxed{648} \\, ; \\, \\boxed{684} \\, ; \\, \\boxed{846} \\, ; \\, \\boxed{864}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n6 \\, ; \\, 6 \\, ; \\, 6 &#038;\\boxed{666}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, utilizando a tabela para fazer a contagem, temos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10$} \\, [\/tex] n\u00fameros nov\u00e9licos com tr\u00eas algarismos todos pares.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/N\u00fameros-nov\u00e9licos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ N\u00fameros nov\u00e9licos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Diremos que um n\u00famero natural \u00e9 nov\u00e9lico se a soma dos seus algarismos for divis\u00edvel por nove. Quantos n\u00fameros nov\u00e9licos de tr\u00eas algarismos, todos pares, existem? 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