{"id":104472,"date":"2018-06-06T23:29:20","date_gmt":"2018-06-07T02:29:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=104472"},"modified":"2024-06-02T02:13:44","modified_gmt":"2024-06-02T05:13:44","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-vamos-fazer-uma-lata","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vamos-fazer-uma-lata\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Vamos fazer uma lata?"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=219550\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>UFPE<\/strong>, 1979 -Adaptado) Uma folha de alum\u00ednio vai ser enrolada para se obter uma lata na forma de um cilindro circular reto. Em seguida, ser\u00e3o colocados o fundo e a tampa da lata.<br \/>\nObserve as imagens.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_3.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"800\" height=\"379\" class=\"aligncenter size-full wp-image-104292\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_3.png 800w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_3-300x142.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_3-768x364.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 800px) 100vw, 800px\" \/><br \/>\nFinalizado todo o processo, determine:<\/p>\n<ul>\n<strong>(a)<\/strong> A medida do raio da base da lata.<br \/>\n<strong>(b)<\/strong> A \u00e1rea lateral da lata.<br \/>\n<strong>(c)<\/strong> A \u00e1rea total da lata.<br \/>\n<strong>(d)<\/strong> O volume da lata em [tex]ml[\/tex].<\/ul>\n<p style=\"margin:10px; text-align:right; font-size:11px;\">Para os c\u00e1lculos, utilize [tex]\\pi=3,14.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(a)<\/strong> Observe que ao enrolar uma folha de alum\u00ednio para obter a lata, os segmentos de comprimento [tex]314 \\, mm[\/tex] e destacados na figura a seguir definir\u00e3o a circunfer\u00eancia das bases do cilindro, nas quais  ser\u00e3o colocados o fundo e a tampa da lata.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"691\" height=\"422\" class=\"aligncenter size-full wp-image-104261\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170.png 691w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170-300x183.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 691px) 100vw, 691px\" \/> <\/p>\n<p>Dessa forma, o per\u00edmetro [tex]P[\/tex] de cada circunfer\u00eancia \u00e9 [tex]314 \\, mm[\/tex]. Assim, se denotarmos o raio da base por [tex]r[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad P=314[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  2\\pi r=314[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad  2\\times 3,14\\times r=314[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad r=\\dfrac{314}{ 2\\times 3,14}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad  \\,  r=\\dfrac{314\\times 100}{ 2\\times 3,14 \\times 100}[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad r=\\dfrac{\\cancel{314}\\times 100}{ 2\\times \\cancel{314}}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad  \\, r=\\dfrac{100}{2}[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad r=50 \\, mm \\, .[\/tex]<br \/>\nPortanto, a medida do raio da base da lata \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$50 \\, mm$} \\, [\/tex] ou, se preferir, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 \\, cm$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(b)<\/strong> A \u00e1rea lateral [tex]A_{lateral}[\/tex] da lata \u00e9 exatamente a \u00e1rea da folha de alum\u00ednio que foi enrolada, ou seja:<br \/>\n[tex]\\qquad A_{lateral}=314 \\times 100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{lateral}=31400 \\, mm^2 \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_1.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"457\" height=\"165\" class=\"aligncenter size-full wp-image-104286\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_1.png 457w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_1-300x108.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 457px) 100vw, 457px\" \/><\/p>\n<p>Logo, a \u00e1rea lateral da lata \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$31 \\, 400 \\, mm^2$} \\, [\/tex] ou ainda [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$314 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(c)<\/strong> A \u00e1rea total da lata corresponde \u00e0 \u00e1rea da regi\u00e3o resultante da planifica\u00e7\u00e3o da forma final da lata (com a tampa e com o fundo).<\/p>\n<p style=\"margin:10px\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_5.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"486\" height=\"313\" class=\"aligncenter size-full wp-image-104311\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_5.png 486w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/prob170_5-300x193.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 486px) 100vw, 486px\" \/><\/p>\n<p>Assim, a \u00e1rea total da lata \u00e9 a soma da \u00e1rea lateral com a \u00e1rea de dois c\u00edrculos cujo comprimento [tex]r[\/tex] dos raios foi calculado no item <strong>(a)<\/strong>:<br \/>\n[tex]\\qquad A_{total}=A_{lateral}+2\\times \\left(\\pi r^2 \\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{total}=31400+2 \\times 3,14 \\times \\left(50\\right)^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{total}=31400+15700[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{total}=47100 \\, mm^2 \\, . [\/tex]<br \/>\nDessa forma, a \u00e1rea total da lata \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$47\\,100 \\, mm^2$} \\, [\/tex] ou [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$471 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(d)<\/strong> O volume da lata \u00e9 o volume de um cilindro circular reto, logo \u00e9 dado pelo produto entre a \u00e1rea da base e a altura da lata em quest\u00e3o, sendo que a \u00e1rea da base \u00e9 a \u00e1rea do c\u00edrculo de raio [tex]r=50 \\, mm \\, .[\/tex]<br \/>\nComo as medidas foram dadas em mil\u00edmetros, vamos inicialmente calcular o volume [tex]V[\/tex] da lata em [tex]mm^3[\/tex]; vejamos:<br \/>\n[tex]\\qquad V=\\text{\u00e1rea da base} \\times \\text{altura}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad V= \\left(\\pi r^2 \\right)\\times100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad V=785000 \\, mm^3 \\, .[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Sabemos que [tex]\\boxed{1 \\, ml=1 \\, cm^3} \\, [\/tex]; logo, vamos transformar o volume de [tex]mm^3[\/tex] para [tex]cm^3 \\, .[\/tex] Mas, para isso, devemos lembrar que [tex]\\boxed{1 \\, cm^3=1000 \\, mm^3}[\/tex] ou, de outra forma, [tex]\\boxed{1 \\, mm^3=0,001 \\, cm^3} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Consequentemente,<br \/>\n[tex]\\qquad V=785000 \\, mm^3= \\, 785000 \\times 0,001 \\, cm^3= 785 \\, cm^3 \\, .[\/tex]<br \/>\nFinalizando, o volume solicitado neste item \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$785 \\, ml$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Vamos-fazer-uma-lata.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Vamos fazer uma lata.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) (UFPE, 1979 -Adaptado) Uma folha de alum\u00ednio vai ser enrolada para se obter uma lata na forma de um cilindro circular reto. Em seguida, ser\u00e3o colocados o fundo e a tampa da lata. &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vamos-fazer-uma-lata\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-104472","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104472","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=104472"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104472\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":219554,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104472\/revisions\/219554"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=104472"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}