{"id":104254,"date":"2018-06-03T22:00:48","date_gmt":"2018-06-04T01:00:48","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=104254"},"modified":"2023-04-30T02:46:40","modified_gmt":"2023-04-30T05:46:40","slug":"produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais\/","title":{"rendered":"Produtos Not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es Polinomiais"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Produtos not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es polinomiais <\/p>\n

\nVamos come\u00e7ar esta se\u00e7\u00e3o resolvendo a equa\u00e7\u00e3o polinomial de quarto grau [tex]\\boxed{x^4-2x^3+4x^2-8x+16=0} \\, .[\/tex]
\nObservamos, inicialmente, que todas as poss\u00edveis ra\u00edzes racionais dessa equa\u00e7\u00e3o est\u00e3o no conjunto [tex]\\left\\{\\pm1, \\, \\pm2, \\, \\pm4, \\, \\pm8, \\, \\pm16\\right\\}[\/tex] e, por meio de verifica\u00e7\u00f5es diretas na equa\u00e7\u00e3o, vemos que nenhum destes n\u00fameros \u00e9 uma raiz. Portanto, pelo Teorema das Ra\u00edzes Racionais<\/strong><\/span>, esta equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o possui ra\u00edzes racionais.
\nVejamos como o produto not\u00e1vel<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\\dots+b^{n-1}), \\, \\, n \\, [\/tex] \u00edmpar,<\/p>\n

poder\u00e1 nos ajudar a resolver a equa\u00e7\u00e3o.
\nIdentificando [tex]a=x[\/tex] e [tex]b=2[\/tex] encontramos que <\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad x^5+32=(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+16) \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

Primeiramente, vamos resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^5+32=0[\/tex] ou, equivalentemente, [tex]x^5=-32[\/tex]. Para isso, vamos usar a f\u00f3rmula de radicia\u00e7\u00e3o de De Moivre <\/em> <\/strong><\/span> para n\u00fameros complexos. (Se voc\u00ea n\u00e3o conhece ou n\u00e3o se lembra dessa f\u00f3rmula, d\u00ea uma passadinha nesta Sala<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n

\n

\n

Note que
\n[tex]\\qquad \\qquad -32=32(\\cos 180^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 180^{\\circ}) \\, [\/tex],
\nassim, as cinco ra\u00edzes de quinto grau de [tex]-32[\/tex] s\u00e3o:<\/p>\n

\n[tex]\\,x_k=\\sqrt[5]{32}\\left(\\cos\\left(\\dfrac{180^{\\circ}+k\\times 360^{\\circ}}{5}\\right)+i \\, \\mathrm{sen}\\left(\\dfrac{180^{\\circ}+k\\times 360^{\\circ}}{5}\\right) \\right), \\, \\, k=0, 1, 2, 3, 4 \\, .[\/tex]<\/p>\n

Explicitamente, as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^5+32=0[\/tex] s\u00e3o dadas por:
\n[tex]\\qquad x_0=2(\\cos 36^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 36^{\\circ}) \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad x_1=2(\\cos 108^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 108^{\\circ}) \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad x_2=2(\\cos 180^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 180^{\\circ})=-2 \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad x_3=2(\\cos 252^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 252^{\\circ}) \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad x_4=2(\\cos 324^{\\circ}+i \\, \\mathrm{sen} \\, 324^{\\circ}) \\, .[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

Portanto, pelo Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>, segue que:<\/p>\n

[tex]\\qquad x^5+32=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\\\\
\n\\qquad x^5+32=(x-x_0)(x-x_1)(x+2)(x-x_3)(x-x_4) \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex]<\/p>\n

Por [tex] \\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex], conclu\u00edmos que:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad x^4-2x^3+4x^2-8x+16=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)[\/tex]<\/p>\n

e, assim, encontramos todas as quatro ra\u00edzes da nossa equa\u00e7\u00e3o original. Neste caso espec\u00edfico, podemos expressar estas ra\u00edzes por meio de radicais, uma vez que os \u00e2ngulos envolvidos s\u00e3o conhecidos. Vejamos.<\/p>\n

\n

\n

Utilizando as f\u00f3rmulas de seno e cosseno da soma
\n[tex]\\qquad \\qquad \\mathrm{sen} \\, (\\alpha+\\beta)= \\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha \\cos \\beta+\\cos \\alpha \\, \\mathrm{sen} \\, \\beta[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\cos(\\alpha+\\beta)=\\cos \\alpha \\cos \\beta- \\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha \\, \\mathrm{sen} \\, \\beta \\, [\/tex]
\ne a rela\u00e7\u00e3o fundamental da trigonometria
\n[tex]\\qquad \\qquad \\mathrm{sen}^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1 \\, [\/tex],
\npodemos provar que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\mathrm{sen}(2\\alpha)=2\\mathrm{sen}\\alpha \\cos \\alpha \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad \\qquad \\cos(2\\alpha)=\\cos^2 \\alpha-sen^2 \\alpha \\, [\/tex],
\n[tex]\\qquad \\qquad \\mathrm{sen}(3\\alpha)=4\\mathrm{sen}\\, \\alpha \\cos^2 \\alpha-\\mathrm{sen}\\, \\alpha \\, [\/tex].
\nEscolhendo [tex]\\alpha=36^\\circ [\/tex] podemos escrever
\n[tex]\\qquad \\boxed{ \\mathrm{sen} \\, (2\\alpha)}= \\mathrm{sen} \\, (72^\\circ)=\\, \\mathrm{sen} \\, (180^\\circ-108^\\circ)=\\, \\mathrm{sen} \\, (180^\\circ-3\\alpha)= \\, \\boxed{\\mathrm{sen} \\, (3\\alpha)}[\/tex]
\ne, assim,
\n[tex]\\qquad 2 \\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha \\cos \\alpha=4 \\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha \\cos^2 \\alpha- \\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha [\/tex]
\ndonde
\n[tex]\\qquad\\, 4 \\cos^2 \\alpha-2\\cos \\alpha-1=0 \\, [\/tex],
\npois [tex]\\, \\mathrm{sen} \\, \\alpha\\neq 0[\/tex], para [tex]\\alpha=36^\\circ[\/tex].
\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\boxed{ 4 \\cos^2 \\alpha-2\\cos \\alpha-1=0} \\, [\/tex], encontramos
\n[tex]\\qquad \\qquad \\cos 36^\\circ=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{4} \\, \\, \\mathrm{e} \\, \\, \\, \\mathrm{sen} \\, 36^\\circ=\\dfrac{\\sqrt{10-2\\sqrt{5}}}{4}[\/tex]
\nE, desta maneira,
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_0=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} +i\\dfrac{\\sqrt{10-2\\sqrt{5}}}{2}$} \\, .[\/tex]
\nAs outras ra\u00edzes podem ser expressas por meio de radicais usando-se as f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas para o arco soma. <\/p>\n

Que tal faz\u00ea-lo?<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nAssim como neste exemplo, com a ajuda do produto not\u00e1vel
\n[tex]\\qquad \\qquad (a^n+b^n)=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\\dots+b^{n-1}), \\, \\, n \\, [\/tex] \u00edmpar,
\npodemos resolver as equa\u00e7\u00f5es da forma
\n[tex]\\qquad \\qquad x^n-bx^{n-1}+b^2x^{n-2}-\\dots+b^n=0, \\, \\, n \\, [\/tex]par,
\ncom [tex]b[\/tex] denotando qualquer n\u00famero complexo.
\nEm muitos casos a solu\u00e7\u00e3o ficar\u00e1 em depend\u00eancia de senos e cossenos, n\u00e3o podendo ser expressa na forma de radicais.
\nCom o produto not\u00e1vel
\n[tex]\\qquad \\qquad (a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\\dots+b^{n-1}), \\, \\, n \\, [\/tex] natural,
\npodemos resolver as equa\u00e7\u00f5es da forma
\n[tex]\\qquad \\qquad x^n+bx^{n-1}+b^2x^{n-2}+\\dots+b^n=0, \\, \\, n \\, [\/tex] natural,
\ncom [tex]b[\/tex] denotando qualquer n\u00famero complexo.<\/div>\n
\n
\n
\n

Vejamos agora como o cubo perfeito
\n[tex]\\qquad \\qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[\/tex]
\npode nos ajudar a resolver equa\u00e7\u00f5es do terceiro grau.<\/p>\n

\n

Consideremos, por exemplo, a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x^3-9x-12=0} \\, .[\/tex]
\nO cubo perfeito pode ser reescrito como
\n[tex]\\qquad \\qquad (a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0 \\, [\/tex],
\nassim, se conseguirmos resolver o sistema formado pelas equa\u00e7\u00f5es [tex]3ab=9[\/tex] e [tex]a^3+b^3=12[\/tex], o n\u00famero [tex]a+b[\/tex] ser\u00e1 uma raiz da equa\u00e7\u00e3o pois escolhendo-se [tex]x=a+b[\/tex], com os n\u00fameros [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] satisfazendo estas equa\u00e7\u00f5es, segue que
\n[tex]\\qquad 0=(a+b)^3-3ab(a+b)-(a^3+b^3)=(a+b)^3-9(a+b)-12=x^3-9x-12.[\/tex]
\nVamos l\u00e1!<\/p>\n

\n

\nPodemos reescrever o sistema
\n[tex]\\qquad \\begin{cases}3ab=9\\\\
\na^3+b^3=12
\n\\end{cases}[\/tex]
\nna forma
\n[tex]\\qquad \\begin{cases}a^3b^3=27 \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}\\\\
\na^3+b^3=12 \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}
\n\\end{cases}[\/tex]
\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)} \\, [\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} \\, [\/tex], obtemos
\n[tex]\\qquad a^3(12-a^3)=27 [\/tex]
\n[tex]\\qquad -(a^3)^2+12a^3-27=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad (a^3)^2-12a^3+27=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nA equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau em [tex]a^3[\/tex] e podemos resolv\u00ea-la, encontrando os valores [tex]a^3=3[\/tex] ou [tex]a^3=9[\/tex].
\nPor substitui\u00e7\u00e3o no sistema encontramos que as solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o [tex]a=\\sqrt[3]{3}[\/tex] e [tex]b=\\sqrt[3]{9}[\/tex] ou [tex]a=\\sqrt[3]{9}[\/tex] e [tex]b=\\sqrt[3]{3}[\/tex].\n<\/div>\n

\nAssim, conclu\u00edmos que [tex]\\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_0=\\sqrt[3]{3}+\\sqrt[3]{9}$}[\/tex] \u00e9 uma raiz da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x^3-9x-12=0} \\, .[\/tex]<\/p>\n

Pelo Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span> segue que
\n[tex]\\qquad \\qquad x^3-9x-12=(x-\\sqrt[3]{3}-\\sqrt[3]{9})(a_1x^2+b_1x+c_1) \\, .[\/tex]
\nEfetuando a multiplica\u00e7\u00e3o e igualando os coeficientes de pot\u00eancias iguais em ambos os membros, obtemos
\n[tex]\\qquad \\qquad a_1=1, \\, \\, b_1=\\sqrt[3]{3}+\\sqrt[3]{9}, \\, \\, c_1=(\\sqrt[3]{3}+\\sqrt[3]{9})^2-9[\/tex]
\ne resolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad x^2+(\\sqrt[3]{3}+\\sqrt[3]{9})x+(\\sqrt[3]{3}+\\sqrt[3]{9})^2-9=0[\/tex]<\/p>\n

encontramos as outras duas ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x^3-9x-12=0} \\, [\/tex] que faltavam:<\/p>\n

\n[tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_1=\\dfrac{-\\sqrt[3]{3}-\\sqrt[3]{9}+\\sqrt{18-9\\sqrt[3]{3}-3\\sqrt[3]{9}}}{2}$} \\, \\, \\mathrm{e} \\, \\, \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ x_2=\\dfrac{-\\sqrt[3]{3}-\\sqrt[3]{9}-\\sqrt{18-9\\sqrt[3]{3}-3\\sqrt[3]{9}}}{2}$}[\/tex].<\/p>\n

Muitos radicais, hein?
\nMas n\u00e3o tem jeito, s\u00e3o essas as solu\u00e7\u00f5es…<\/p>\n

\n

\nPortanto, reescrever produtos not\u00e1veis,
\n[tex]\\qquad \\qquad (a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\\dots+nab^{n-1}+b^n[\/tex],
\nassim como fizemos no caso [tex]n=3 \\, [\/tex], pode ser muito \u00fatil para resolver algumas equa\u00e7\u00f5es polinomiais. <\/div>\n
\n
\n
\n

Agora apresentaremos uma outra t\u00e9cnica interessante para se resolver algumas equa\u00e7\u00f5es polinomiais.
\nPara exemplificar a t\u00e9cnica, vamos resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0} \\, .[\/tex] <\/p>\n

\n

Note que os coeficientes desta equa\u00e7\u00e3o t\u00eam uma propriedade bem peculiar: o coeficiente do termo de quarto grau \u00e9 igual ao coeficiente independente, o coeficiente do termo de terceiro grau \u00e9 igual ao coeficiente do termo de primeiro grau, ou seja, existe uma simetria nos coeficientes.
\nEqua\u00e7\u00f5es com este tipo de simetria em seus coeficientes s\u00e3o conhecidas como equa\u00e7\u00f5es rec\u00edprocas<\/strong>.\n<\/div>\n

Como podemos explorar a simetria da nossa equa\u00e7\u00e3o?<\/p>\n