{"id":104252,"date":"2018-06-03T22:00:52","date_gmt":"2018-06-04T01:00:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=104252"},"modified":"2024-11-26T23:25:15","modified_gmt":"2024-11-27T02:25:15","slug":"sala-de-estudo-produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Produtos Not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es Polinomiais"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb21\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"><em> Produtos Not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es Polinomiais <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify; padding: 15px; margin-left:auto; margin-right:auto; border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px; -webkit-border-radius: 40px; border: 1px dotted #4178a1; width:620px;line-height: 20px;\"><span style=\"color: #4178a1; font-family: calibri, sans-serif; font-size: 16px;\">O objetivo desta Sala de Estudos \u00e9 apresentar algumas t\u00e9cnicas avan\u00e7adas para se trabalhar de forma mais criativa com algumas equa\u00e7\u00f5es polinomiais.<br \/>\nComo para o entendimento do que aqui ser\u00e1 exposto \u00e9 necess\u00e1rio conhecer n\u00fameros complexos, fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas e fun\u00e7\u00f5es polinomiais (e essas ferramentas ser\u00e3o utilizadas sem muita cerim\u00f4nia), o material  que apresentaremos \u00e9 especialmente recomendado aos alunos do terceiro ano do Ensino M\u00e9dio.<br \/>\n<strong>Para os demais, vale o desafio de tentar entender!<\/strong> <\/span><\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb26\">\n<p class=\"ti2 c2\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Equa\u00e7\u00f5es polinomiais<\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>O tema &quot;<strong>Equa\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong>&quot; \u00e9 certamente um dos mais importantes, desafiadores e antigos de toda a Matem\u00e1tica. \u00c9 um consenso entre historiadores da Matem\u00e1tica que as equa\u00e7\u00f5es polinomiais tiveram suas origens nos estudos de diversos povos antigos, como os Gregos e Babil\u00f4nios, muito antes de Cristo. <\/p>\n<p class=\"ti2\"  style=\"margin:20px;\">Mas o que \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o polinomial, afinal?<\/p>\n<div class=\"gr2 bg23\" style=\"line-height:25px; width:80%\">\n<p><strong>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Uma  <span class=\"c2\"><strong>equa\u00e7\u00e3o polinomial  <\/strong><\/span> com coeficientes reais (ou complexos) na inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o da forma<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\dots+a_1x+a_0=0,[\/tex]<br \/>\ncom [tex]n[\/tex] denotando um n\u00famero natural e [tex]a_0,a_1, \\dots, a_n[\/tex], [tex]a_n\\neq0 \\, [\/tex], denotando n\u00fameros reais (ou complexos) fixos. <\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>Os n\u00fameros [tex]a_0,a_1, \\dots, a_n[\/tex] s\u00e3o denominados os <span class=\"c2\"><strong> coeficientes da equa\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>.<\/li>\n<li>O n\u00famero natural [tex]n[\/tex] \u00e9  dito o <span class=\"c2\"><strong>grau da equa\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>, por ser o maior exponente com que figura a inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex]. <\/li>\n<li>Os valores da inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex] que verificam a igualdade s\u00e3o conhecidos como <span class=\"c2\"><strong>ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Por exemplo, [tex]x^3-6x^2+11x-6=0[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do terceiro grau com &quot;coeficientes [tex]1, \\,  -6, \\,  11 \\, [\/tex] e [tex] \\, -6[\/tex]&quot; e &quot;ra\u00edzes [tex]1,  \\, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex]&quot;.\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">Os Gregos e Babil\u00f4nios da antiguidade foram capazes de resolver as equa\u00e7\u00f5es do primeiro grau. Os \u00c1rabes e Hindus conseguiram encontrar a famosa &quot;f\u00f3rmula de Bhaskara&quot; para resolver completamente as equa\u00e7\u00f5es do segundo grau, por volta do ano [tex]1.000[\/tex] depois de Cristo. Estes povos tamb\u00e9m foram capazes de resolver de forma muito engenhosa casos particulares de equa\u00e7\u00f5es de grau superior a dois. Matem\u00e1ticos do Renascimento como <em><strong>Scipione del Ferro<\/strong><\/em> (1465-1526), <em><strong>Niccolo Tartaglia<\/strong><\/em> (1500-1557), <em><strong>Ger\u00f4nimo Cardano<\/strong><\/em> (1501-1576) e <em><strong>Fran\u00e7ois Vi\u00e8te<\/strong><\/em> (1540-1603) resolveram as equa\u00e7\u00f5es do terceiro grau e o italiano <em><strong>Ludovico Ferrari<\/strong><\/em> (1522-1565) resolveu as equa\u00e7\u00f5es do quarto grau. <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">As formas encontradas para resolver as equa\u00e7\u00f5es polinomiais de grau igual ou inferior a quatro tinham algo em comum: estas f\u00f3rmulas forneciam as ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o partindo dos coeficientes e empregando as opera\u00e7\u00f5es de adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, divis\u00e3o, potencia\u00e7\u00e3o e extra\u00e7\u00e3o de ra\u00edzes um n\u00famero finito de vezes.  Este m\u00e9todo de solu\u00e7\u00e3o \u00e9 hoje conhecido como <strong>solu\u00e7\u00e3o por radicais<\/strong>. <\/span><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\"> Por muito tempo, os matem\u00e1ticos procuraram em v\u00e3o uma solu\u00e7\u00e3o por radicais que resolvesse todas as equa\u00e7\u00f5es de quinto grau. No in\u00edcio do s\u00e9culo XIX, o noruegu\u00eas <em><strong>Niels Henrik Abel<\/strong> <\/em> (1802-1829) e o franc\u00eas <em><strong>\u00c9varist Galois<\/strong><\/em> (1811-1832) provaram que as equa\u00e7\u00f5es de grau superior a quatro n\u00e3o podem ser resolvidas de forma geral pelo m\u00e9todo dos radicais. <\/span><\/p>\n<p class=\"ti3\">Ent\u00e3o, a quest\u00e3o est\u00e1 encerrada? <\/p>\n<p class=\"ti3\">N\u00e3o podemos resolver equa\u00e7\u00f5es de grau superior a quatro pelo m\u00e9todo dos radicais? <\/p>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">De um modo geral, n\u00e3o podemos; mas veremos que, em muitos casos particulares, equa\u00e7\u00f5es de grau alto podem ser resolvidas, com um pouco de engenhosidade. <\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\">A hist\u00f3ria das equa\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas \u00e9 repleta de controv\u00e9rsias e de personagens absolutamente geniais. No v\u00eddeo abaixo voc\u00ea ter\u00e1 a oportunidade de conhecer um pouco mais da vida de um dos maiores g\u00eanios matem\u00e1ticos de todos os tempos: <em><strong>\u00c9varist Galois<\/strong><\/em>. <\/span><\/p>\n<p class=\"ti2\"  style=\"margin:20px;\">Para assistir, \u00e9 s\u00f3 clicar na setinha!<\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<p style=\"margin:20px;\">\n<span class=\"c2\" style=\"font-family: calibri, sans-serif; font-size: 22px;\"> <strong><em>\u00c9varist Galois<\/em> &#8211; uma novela matem\u00e1tica<\/strong> <\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DuhQnu1fgDc?rel=0&amp;showinfo=0\" ><\/iframe><\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1;  margin-top: 40px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 40px; border: 0 none\"\/>\n<div class=\"grie cb26\">\n<p class=\"ti2 c2\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Trin\u00f4mio quadrado perfeito e Equa\u00e7\u00f5es do segundo grau<\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>Toda equa\u00e7\u00e3o de primeiro grau [tex]\\boxed{a_1x+a_0=0} \\, [\/tex], com [tex]a_1\\neq 0[\/tex], admite a \u00fanica raiz [tex]\\boxed{x=-\\dfrac{a_0}{a_1}}[\/tex] e obter essa raiz  \u00e9 simples, pois:<br \/>\n[tex]\\quad \\qquad \\quad a_1x+a_0=0 \\Longleftrightarrow x=-\\dfrac{a_0}{a_1}.[\/tex]<br \/>\nVejamos agora como o trin\u00f4mio quadrado perfeito <\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">[tex]\\qquad \\qquad (x+a)^2=x^2+2ax+a^2[\/tex]<\/p>\n<p>desempenha um papel fundamental na resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau.<br \/>\nSabemos que toda equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0} \\, [\/tex], com [tex]a_2\\neq 0[\/tex], admite duas ra\u00edzes complexas dadas por: <\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">[tex]\\qquad \\boxed{x_1=\\dfrac{-a_1 + \\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}}\\,[\/tex]    e    [tex]\\,\\boxed{x_2=\\dfrac{-a_1-\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p>\u00c0s vezes nos acostumamos tanto com a utiliza\u00e7\u00e3o da f\u00f3rmula [tex] \\, x=\\dfrac{-a_1 \\pm \\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \\, [\/tex] que n\u00e3o questionamos como ela foi obtida. E \u00e9 na obten\u00e7\u00e3o dessa f\u00f3rmula que o trin\u00f4mio quadrado perfeito [tex](x+a)^2=x^2+2ax+a^2[\/tex] entra em a\u00e7\u00e3o. Vejamos.<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"width:97%;line-height:30px;\">\n<p>Dada a equa\u00e7\u00e3o polinomial do segundo grau [tex]a_2x^2+a_1x+a_0=0[\/tex], com [tex]a_2\\neq 0[\/tex], para resolv\u00ea-la devemos encontrar um caminho que isole a inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex]; mas isto n\u00e3o \u00e9 um procedimento t\u00e3o simples, uma vez que temos na equa\u00e7\u00e3o mais de um termo envolvendo a inc\u00f3gnita ([tex]a_2x^2[\/tex] e [tex]a_1x[\/tex]). \u00c9 bastante instrutivo observar como esse obst\u00e1culo \u00e9 contornado e as ra\u00edzes s\u00e3o obtidas.<br \/>\nA partir da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}, \\, \\, a_2\\neq 0 \\, [\/tex], vamos multiplicar todos os termos por [tex]4a_2[\/tex] e, em seguida, adicionar a express\u00e3o [tex]a_1^2[\/tex] a ambos os membros, obtendo ent\u00e3o uma  equa\u00e7\u00e3o do segundo grau equivalente \u00e0 equa\u00e7\u00e3o inicial:<br \/>\n[tex]\\quad\\begin{align*}\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0} &#038; \\Longleftrightarrow 4a_2 \\cdot \\left(a_2x^2+a_1x+a_0\\right) = 4a_2 \\cdot 0\\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow 4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0= 0 \\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow \\left(4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0 \\right)+a_1^2= 0+a_1^2\\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow \\boxed{4a_2^2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0 +a_1^2= a_1^2} \\, .<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nObserve agora o trin\u00f4mio quadrado perfeito em a\u00e7\u00e3o, lembrando que [tex]a_2\\neq 0[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\;\\begin{align*}\\boxed{4a^2_2x^2+4a_2a_1x+4a_2a_0+a^2_1=a^2_1} &#038; \\Longleftrightarrow  \\left(4a^2_2x^2+4a_2a_1x+a^2_1\\right)+4a_2a_0=a^2_1\\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow \\left(2a_2x+a_1\\right)^2+4a_2a_0=a^2_1\\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow \\left(2a_2x+a_1\\right)^2=a^2_1-4a_2a_0\\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow 2a_2x+a_1=\\pm\\sqrt{a^2_2-4a_2a_0} \\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow 2a_2x=-a_1\\pm\\sqrt{a^2_2-4a_2a_0} \\\\<br \/>\n&#038; \\Longleftrightarrow \\boxed{x=\\dfrac{-a_1\\pm\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}} \\, .<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nDessa forma, <\/p>\n<p style=\"margin:10px;text-align:center\">\n[tex] \\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$a_2x^2+a_1x+a_0=0 \\Longleftrightarrow x=\\dfrac{-a_1\\pm\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}<br \/>\n$} \\, [\/tex],<\/p>\n<p>e perceba que foi o trin\u00f4mio quadrado perfeito que permitiu isolarmos a inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>O n\u00famero [tex]\\Delta=a_1^2-4a_2a_0[\/tex] \u00e9 conhecido como discriminante da equa\u00e7\u00e3o [tex]a_2x^2+a_1x+a_0=0[\/tex]. Lembre-se de que, se os coeficientes [tex]a_2, a_1, a_0[\/tex] s\u00e3o reais,  ent\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> a equa\u00e7\u00e3o ter\u00e1 duas ra\u00edzes reais distintas, se [tex]\\Delta \\gt 0 \\, [\/tex];<\/li>\n<li> a equa\u00e7\u00e3o ter\u00e1 duas ra\u00edzes reais iguais, se [tex]\\Delta = 0 \\, [\/tex];<\/li>\n<li> a equa\u00e7\u00e3o ter\u00e1 duas ra\u00edzes complexas, se [tex]\\Delta \\lt  0 \\, [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1; margin-top: 40px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 40px; border: 0 none\"\/>\n<div class=\"grie cb26\" style=\"line-height:30px\">\n<p class=\"ti2 c2\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o e da Ra\u00edzes Racionais<\/p>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#4178a1; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>[tex]\\textcolor{#4178a1}{(i)}[\/tex] Seja [tex]P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0, \\,  \\, a_2\\neq 0,[\/tex] um polin\u00f4mio do segundo grau.<br \/>\nSabemos que as ra\u00edzes de [tex]P(x)[\/tex] s\u00e3o os n\u00fameros [tex]a[\/tex] tais que [tex]P(a)=0[\/tex]; assim, pelo anteriormente exposto, as ra\u00edzes do polin\u00f4mio [tex] P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0, \\,  \\, a_2\\neq 0,[\/tex] s\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x_1=\\dfrac{-a_1+\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \\qquad [\/tex]    e    [tex]\\qquad x_2=\\dfrac{-a_1-\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2} \\, .[\/tex]<br \/>\nPor outro lado, observe que:<br \/>\n[tex]\\;\\begin{align*} \\boxed{a_2(x-x_1)(x-x_2)}&#038;=a_2\\left(x-\\dfrac{-a_1+\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\\right)\\left(x-\\dfrac{-a_1-\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;= a_2\\left(x+\\dfrac{a_1}{2a_2}-\\dfrac{\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\\right)\\left(x+\\dfrac{a_1}{2a_2}+\\dfrac{\\sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=a_2\\left(x^2+\\dfrac{a_1}{a_2}x+\\dfrac{a_1^2}{4a_2^2}-\\dfrac{a_1^2-4a_2a_0}{4a_2^2}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=a_2\\left(x^2+\\dfrac{a_1}{a_2}x+\\dfrac{a_0}{a_2}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0} \\, .<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nPortanto, todo polin\u00f4mio do segundo grau [tex]\\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0}[\/tex] pode ser fatorado a partir de suas ra\u00edzes [tex]x_1 \\, [\/tex] e [tex] \\, x_2[\/tex] na forma [tex]\\boxed{a_2(x-x_1)(x-x_2)} \\, .[\/tex]<br \/>\nParticularmente, se [tex]\\Delta=0[\/tex] ent\u00e3o [tex]x_1=x_2[\/tex] e o polin\u00f4mio pode ser fatorado na forma [tex]a_2(x-x_1)^2[\/tex]. Neste caso, dizemos que a raiz [tex]x_1[\/tex] tem multiplicidade [tex]2[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Esse resultado relacionado \u00e0 fatora\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio de segundo grau pode ser generalizado para qualquer polin\u00f4mio de grau [tex]n[\/tex] e \u00e9 conhecido como <strong>Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong> ou, algumas vezes, como <strong>Teorema Fundamental da \u00c1lgebra<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr3 bg23\" style=\"line-height:30px\"><span class=\"c2\"><strong>Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> <em> Todo polin\u00f4mio de grau [tex]n[\/tex], [tex]n \\geqslant 1 \\, [\/tex],<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\dots+a_1x+a_0,  \\,  \\, \\, a_n\\neq0,[\/tex]<br \/>\ncom coeficientes [tex]a_0,a_1, \\dots, a_n[\/tex] complexos, pode ser fatorado na forma<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad P(x)=a_n(x-x_0)^{m_0}(x-x_1)^{m_1}\\dots(x-x_r)^{m_r} \\, [\/tex],<br \/>\nem que [tex]x_0, \\,  x_1,  \\, \\dots \\, , \\,  x_r[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros complexos distintos e [tex]m_0, \\, m_1, \\, \\dots \\, , \\, m_r[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]m_0+m_1+\\dots+m_r=n.[\/tex] Cada natural [tex]m_i[\/tex] \u00e9 denominado &#8220;multiplicidade&#8221; da respectiva raiz [tex]x_i \\, .[\/tex]<\/em><br \/>\nA partir da forma fatorada acima, fica evidente que o conjunto das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o polinomial [tex]P(x)= 0[\/tex], correspondente ao polin\u00f4mio [tex]P(x)[\/tex], \u00e9 dado por [tex]\\{x_0, x_1, \\dots, x_r\\}[\/tex].\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 30px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 30px; border: 0 none\"\/>\n<p>[tex]\\textcolor{#4178a1}{(ii)}[\/tex] Um dos m\u00e9todos mais eficientes para se encontrar as ra\u00edzes racionais de uma <span class=\"c2\"><strong>equa\u00e7\u00e3o polinomial com coeficientes inteiros<\/strong><\/span> \u00e9 o <strong>Teorema das Ra\u00edzes Racionais<\/strong>. <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr3 bg23\" style=\"line-height:30px\"><span class=\"c2\"><strong>Teorema das Ra\u00edzes Racionais:<\/strong><\/span> <em> Se o n\u00famero racional [tex]\\dfrac{a}{b}[\/tex], escrito na forma irredut\u00edvel, for raiz da equa\u00e7\u00e3o polinomial com coeficientes inteiros<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\dots+a_1x+a_0=0,  \\,  \\, \\, a_n\\neq0 \\, [\/tex],<br \/>\nent\u00e3o o n\u00famero inteiro [tex]a[\/tex] deve ser um divisor de [tex]a_0[\/tex] e o n\u00famero inteiro [tex]b[\/tex] deve ser um divisor de [tex]a_n[\/tex].<\/em><\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 30px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 30px; border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos resolver um problema que utiliza esse dois Teoremas.<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gree cb23\" style=\"width:97%;line-height:32px;\">\n<ul>\n<li> Encontre todas as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o polinomial [tex]6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=0.\\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo <span class=\"c2\"><strong>Teorema das Ra\u00edzes Racionais<\/strong><\/span>, \u00e9 f\u00e1cil concluir que todas as poss\u00edveis ra\u00edzes racionais da equa\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] pertencem ao conjunto [tex]\\left\\{\\pm 1, \\, \\pm\\dfrac{1}{2}, \\,  \\pm\\dfrac{1}{3}, \\, \\pm\\dfrac{1}{6}, \\,  \\pm2, \\,  \\pm\\dfrac{2}{3}\\right\\}[\/tex].<br \/>\nSubstituindo um a um esses valores, podemos verificar que as \u00fanicas ra\u00edzes racionais da equa\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] s\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] e [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex].<br \/>\nPortanto, pelo <span class=\"c2\"><strong>Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span>, temos que:<br \/>\n[tex]\\quad \\begin{align*} &#038;\\boxed{6x^4-5x^3-11x^2+10x-2}=\\\\<br \/>\n&#038; =6(x-\\dfrac{1}{2})(x-\\dfrac{1}{3})(x-x_3)(x-x_4)\\\\<br \/>\n&#038;=6(x-\\dfrac{1}{2})(x-\\dfrac{1}{3})(\\underbrace{1}_{a_2}x^2\\underbrace{-(x_3+x_4)}_{a_1}x+\\underbrace{x_3\\cdot x_4}_{a_0})\\\\<br \/>\n&#038;=6\\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)\\left(x-\\dfrac{1}{3}\\right)\\left(a_2x^2+a_1x+a_0\\right)\\\\<br \/>\n&#038; =(6x^2-5x+1)(a_2x^2+a_1x+a_0)\\\\<br \/>\n&#038; =\\boxed{6a_2x^4+(6a_1-5a_2)x^3+(6a_0-5a_1+a_2)x^2+(-5a_0+a_1)x+a_0} \\, .<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nIgualando os coeficientes de pot\u00eancias iguais de [tex]x[\/tex] no primeiro e \u00faltimo membro das igualdades acima, segue que<br \/>\n[tex]\\quad \\boxed{6a_2=6} \\;\\boxed{6a_1-5a_2=-5} \\;\\boxed{6a_0-5a_1+a_2=-11} \\;\\boxed{-5a_0+a_1=10} \\;\\boxed{a_0=-2} \\, ,[\/tex]<br \/>\ndonde podemos concluir que  [tex]a_2=1, \\,  a_1=0, \\,  a_0=-2[\/tex] e, assim,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=6\\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)\\left(x-\\dfrac{1}{3}\\right)\\left(x^2-2\\right) \\, .[\/tex]<br \/>\nAgora, observe que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x^2-2=0 \\Longleftrightarrow x^2=2 \\Longleftrightarrow x=\\pm \\sqrt{2}[\/tex],<br \/>\nportanto,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x^2-2=(x-\\sqrt{2})(x+\\sqrt{2})[\/tex]<br \/>\ne, ent\u00e3o,<br \/>\n[tex]\\quad 6x^4-5x^3-11x^2+10x-2=6\\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)\\left(x-\\dfrac{1}{3}\\right)\\left(x-\\sqrt{2}\\right)\\left(x+\\sqrt{2}\\right).[\/tex]<br \/>\nFinalmente, temos as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]: [tex]\\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$x_1=\\dfrac{1}{2}, \\,  \\, x_2=\\dfrac{1}{3}, \\,  \\, x_3=\\sqrt{2}, \\,  \\, x_4=-\\sqrt{2}$} \\, .[\/tex]<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 30px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 30px; border: 0 none\"\/>\n<div class=\"gree cb25\" style=\"width:50%; margin-left: 20px;\">\n<strong>Exerc\u00edcios:<\/strong> Encontre as ra\u00edzes das seguintes equa\u00e7\u00f5es:<br \/>\n(a) [tex]x^3-7x^2+7x+15=0[\/tex]<br \/>\n(b) [tex]x^4+x^3-7x^2-x+6=0[\/tex]<br \/>\n(c) [tex]x^4+6x^3+10x^2+6x+9=0[\/tex]<br \/>\n(d) [tex]2x^5-x^4-2x+1=0[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<table style=\"border:0px; text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto;width:637px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"105\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"text-align: justify; padding: 15px;padding-left:15px; padding-right:15px; border-radius: 5px; -moz-border-radius: 5px; -webkit-border-radius: 40px; border: 1px dotted #4178a1; width:500px;line-height: 20px;\"><span style=\"color: #4178a1; font-family: calibri, sans-serif; font-size: 16px;\">Com o que foi exposto at\u00e9 agora, j\u00e1 temos condi\u00e7\u00f5es de atacar o tema desta Sala: <strong>Produtos not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong>.<br \/>\nVamos l\u00e1?<br \/>\n\u00c9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=104254\" title=\"V\u00e1 para a Sala!\"target=\"_blank\"><span class=\"c3\" style=\"font-size:18px\"><strong>AQUI<\/strong><\/span><\/a>!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p class=\"ti1 c2\"><em> Bons Estudos! <\/em><\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;  margin-top: 30px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 10px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 20px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 30px;text-align: right; color: #4178a1;\">Julho de 2018.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Produtos Not\u00e1veis e Equa\u00e7\u00f5es Polinomiais O objetivo desta Sala de Estudos \u00e9 apresentar algumas t\u00e9cnicas avan\u00e7adas para se trabalhar de forma mais criativa com algumas equa\u00e7\u00f5es polinomiais. Como para o entendimento do que aqui ser\u00e1 exposto \u00e9 necess\u00e1rio conhecer n\u00fameros complexos, fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas e fun\u00e7\u00f5es polinomiais (e essas ferramentas ser\u00e3o utilizadas sem muita cerim\u00f4nia), o &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":667,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-104252","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104252","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/667"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=104252"}],"version-history":[{"count":37,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104252\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223564,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/104252\/revisions\/223564"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=104252"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}