{"id":104086,"date":"2018-05-31T18:48:38","date_gmt":"2018-05-31T21:48:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=104086"},"modified":"2024-04-08T07:03:03","modified_gmt":"2024-04-08T10:03:03","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-armazenagem-de-graos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-armazenagem-de-graos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Armazenagem de gr\u00e3os"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=215980\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>A figura mostra um dos celeiros para armazenamento de gr\u00e3os de uma propriedade rural.<br \/>\nSupondo que a parte interna do celeiro em quest\u00e3o \u00e9 totalmente aproveit\u00e1vel para armazenamento, determinar o volume m\u00e1ximo de gr\u00e3os que podem ser armazenados nesse celeiro.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_5.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"579\" height=\"640\" class=\"aligncenter size-full wp-image-102754\" \/>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Observe que o celeiro de armazenamento de que trata o problema tem a forma de um prisma reto de base pentagonal, conforme podemos observar na figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_8.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"325\" height=\"410\" class=\"aligncenter size-full wp-image-102779\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_8.png 325w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_8-238x300.png 238w\" sizes=\"auto, (max-width: 325px) 100vw, 325px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, o volume m\u00e1ximo de gr\u00e3os que podem ser armazenados nesse celeiro \u00e9 o volume [tex]V[\/tex] desse prisma, que sabemos ser dado pelo produto entre a \u00e1rea da sua base e a sua altura:<br \/>\n[tex]\\qquad V=\\text{\u00e1rea da base}\\times \\text{altura} \\, .[\/tex]<br \/>\nComo conhecemos a altura do prisma, [tex]8 \\, m \\, [\/tex], precisamos determinar a \u00e1rea [tex]A_p[\/tex] do pent\u00e1gono mostrado abaixo, \u00e1rea esta que \u00e9 a soma das \u00e1reas do tri\u00e2ngulo [tex]ABE[\/tex] e do ret\u00e2ngulo [tex]BCDE[\/tex]: [tex]\\boxed{A_p=A_t+A_r} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_7.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"290\" height=\"240\" class=\"aligncenter size-full wp-image-102763\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_7.png 363w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_7-300x248.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 290px) 100vw, 290px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>A \u00e1rea [tex]A_r[\/tex] \u00e9 facilmente obtida: [tex]\\boxed{A_r=3\\times4=12 \\, m^2} \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_11.png\" alt=\"\" width=\"344\" height=\"153\" class=\"alignright size-full wp-image-102802\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_11.png 344w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_11-300x133.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 344px) 100vw, 344px\" \/><\/p>\n<li>Para calcular [tex]A_t[\/tex], vamos obter a altura [tex]AH[\/tex] relativa ao lado [tex]EB[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]ABE[\/tex].<br \/>\nObserve que  [tex]ABE[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles; assim, como o segmento [tex]AH[\/tex] \u00e9 a altura relativa ao lado [tex]EB[\/tex], ent\u00e3o  o ponto [tex]H[\/tex] divide o lado [tex]EB[\/tex] em dois segmentos congruentes de comprimento [tex]\\dfrac{4}{2}=2 \\, m \\, .[\/tex]<br \/>\nLogo, [tex]\\text{tg} \\, 30^\\circ=\\dfrac{h}{2}[\/tex], donde obtemos que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\quad h=2 \\times \\text{tg} \\, 30^\\circ= 2 \\times \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=\\dfrac{2\\sqrt{3}}{3} \\, m \\, .[\/tex]<br \/>\nPronto, j\u00e1 podemos obter [tex]A_t[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\boxed{A_t=\\dfrac{4 \\times \\frac{2\\sqrt{3}}{3}}{2}=\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3} \\, m^2} \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Com isso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\quad \\qquad A_p=A_t+A_r=\\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}+12\\right) \\, m^2[\/tex]<br \/>\ne, portanto, o volume do prisma \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad V=\\text{\u00e1rea da base}\\times \\text{altura}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:15px\">\n<p> [tex]\\qquad V=\\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}+12 \\right) \\times 8[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p> [tex]\\qquad V=\\dfrac{32\\sqrt{3}+288}{3} \\, m^3 \\, . [\/tex]<br \/>\nEnt\u00e3o, o volume m\u00e1ximo de gr\u00e3os que podem ser armazenados no celeiro \u00e9 de aproximadamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$114 \\,  m^3$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\"style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Poder\u00edamos tamb\u00e9m tratar geometricamente o celeiro de armazenamento como um s\u00f3lido composto por um paralelep\u00edpedo e um prisma triangular reto, conforme podemos observar na figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_12.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"208\" class=\"aligncenter size-full wp-image-102831\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_12.png 640w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/prob144_12-300x98.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Desse modo, o volume m\u00e1ximo de gr\u00e3os que podem ser armazenados no celeiro \u00e9 o volume [tex]V[\/tex] desse prisma, que \u00e9 a soma dos volumes do paralelep\u00edpedo e do prisma triangular.<br \/>\nAproveitem os c\u00e1lculos acima e concluam que o volume do celeiro tamb\u00e9m poderia ser calculado desta maneira:<br \/>\n[tex]\\qquad V=\\text{volume do paralelep\u00edpedo} + \\text{volume do prisma triangular}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad V=\\left(4 \\times 8 \\times 3 \\right)+\\left( \\dfrac{4\\times \\frac{2\\sqrt{3}}{3}}{2}\\times 8 \\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad V=96+\\dfrac{32\\sqrt{3}}{3}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad V=\\dfrac{288+32\\sqrt{3}}{3} \\, m^3 \\, . [\/tex]<br \/>\nNovamente, o volume m\u00e1ximo de gr\u00e3os que podem ser armazenados no celeiro \u00e9 de aproximadamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$114 \\,  m^3$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Armazenagem-de-gr\u00e3os.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Armazenagem de gr\u00e3os.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) A figura mostra um dos celeiros para armazenamento de gr\u00e3os de uma propriedade rural. 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