{"id":10389,"date":"2013-09-27T21:46:20","date_gmt":"2013-09-28T00:46:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=10389"},"modified":"2023-01-05T01:29:09","modified_gmt":"2023-01-05T04:29:09","slug":"problemao-descubra-as-idades","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-descubra-as-idades\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Dist\u00e2ncia m\u00ednima"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 8px; text-align: justify; line-height: 25px;padding-left: 8px; padding-right: 8px; font-family: verdana; color: #616161; line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 20px; color: #616161;\"><strong>Problema <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f054.png\" alt=\"\" width=\"381\" height=\"280\" class=\"aligncenter size-full wp-image-179000\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f054.png 381w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f054-300x220.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 381px) 100vw, 381px\" \/><br \/>\nUm c\u00e3ozinho est\u00e1 a [tex]10\\,m[\/tex] de um bal\u00e3o pousado no solo. O c\u00e3o come\u00e7a a correr em dire\u00e7\u00e3o ao bal\u00e3o no mesmo instante em que este se desprende do solo e inicia uma ascens\u00e3o vertical.<br \/>\nSe o c\u00e3o corre com velocidade de [tex]2\\,m\/s[\/tex] e o bal\u00e3o ascende com velocidade de [tex]1\\,m\/s[\/tex],  <strong>qual a dist\u00e2ncia m\u00ednima entre o c\u00e3o e o bal\u00e3o? Quantos segundos ap\u00f3s o in\u00edcio da corrida essa dist\u00e2ncia \u00e9 m\u00ednima?<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:19px;\">Extra\u00eddo de  <strong>Temas e Problemas Elementares<\/strong> &#8211; Elon Lages Lima <em>et al<\/em>, 2005.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 10px;text-align: justify; line-height: 28px;font-family: verdana; color: #616161; line-height: 28px;\"\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 20px; color: #616161;\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Sabendo que a dist\u00e2ncia inicial entre o cachorro e o bal\u00e3o \u00e9 de [tex]10\\,m[\/tex] e que o cachorro corre a uma velocidade de [tex]2\\,m\/s[\/tex], ent\u00e3o a dist\u00e2ncia [tex](s)[\/tex] entre o cachorro e o ponto de partida do bal\u00e3o pode ser escrita em fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex](t)[\/tex] como [tex]\\boxed{s=10-2t}.[\/tex] <\/li>\n<li>Sabemos, ainda, que o bal\u00e3o sobe a uma velocidade de [tex]1\\,m\/s[\/tex]; assim, temos que a dist\u00e2ncia [tex](h)[\/tex], em fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex](t)[\/tex], entre o bal\u00e3o e seu ponto de partida \u00e9 dada por [tex]\\boxed{h=t}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como o cachorro corre horizontalmente e o bal\u00e3o sobe verticalmente, podemos representar essa situa\u00e7\u00e3o utilizando um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, cujos catetos s\u00e3o a &#8220;dist\u00e2ncia entre o cachorro e o ponto de partida do bal\u00e3o&#8221; e a &#8220;dist\u00e2ncia do bal\u00e3o ao solo&#8221;. A hipotenusa ser\u00e1 a dist\u00e2ncia entre o cachorro e o bal\u00e3o, que vamos chamar de [tex]d[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f056.png\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"271\" class=\"aligncenter size-full wp-image-179002\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f056.png 418w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f056-300x233.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><br \/>\nAssim, pelo <strong><em>Teorema de Pit\u00e1goras<\/em><\/strong>,  [tex]d^2=(10-2t)^2 + t^2[\/tex] e, portanto, [tex]d = \\sqrt{(10-2t)^2+t^2}[\/tex] (lembre-se de que [tex]d \\gt 0[\/tex]).<br \/>\nO nosso objetivo \u00e9 encontrar a dist\u00e2ncia m\u00ednima entre o cachorro e o bal\u00e3o. Para isso, note que a fun\u00e7\u00e3o raiz quadrada, [tex]f(x)=\\sqrt{x~}[\/tex], \u00e9 crescente; portanto, <span style=\"color:#FF0000;\"> o nosso [tex]~d~[\/tex] ter\u00e1 o valor m\u00ednimo quando o radicando [tex](10-2t)^2+t^2[\/tex] for m\u00ednimo<\/strong><\/span>.<br \/>\nMas [tex](10-2t)^2+t^2=100-40t+5t^2[\/tex] e sabemos que uma rela\u00e7\u00e3o da forma [tex]y=at^2+bt+c[\/tex], com [tex]a\\gt 0[\/tex], descreve uma par\u00e1bola com concavidade voltada para cima, no plano cartesiano [tex]tOy[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f059.png\" alt=\"\" width=\"365\" height=\"319\" class=\"aligncenter size-full wp-image-179051\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f059.png 365w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/f059-300x262.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 365px) 100vw, 365px\" \/><br \/>\nDessa forma, a express\u00e3o [tex](10-2t)^2+t^2[\/tex] ter\u00e1 seu valor m\u00ednimo na coordenada [tex]t[\/tex] relativa ao v\u00e9rtice da par\u00e1bola definida por  [tex]y=100-40t+5t^2[\/tex], ou seja, [tex]t=\\dfrac{-(-40)}{2\\cdot5}=4[\/tex].<br \/>\nSubstituindo, esse valor de [tex]t[\/tex] em [tex]d=\\sqrt{(10-2t)^2+t^2}[\/tex], obtemos que a dist\u00e2ncia m\u00ednima \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 2 \\sqrt{5}\\, m$}\\,[\/tex], que ocorre ap\u00f3s [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4\\,s$}[\/tex]. <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo <strong>Clube OL\u00cdMPICOS FEDERAIS<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 1px solid #616161; padding: 8px; text-align: justify; font-family: verdana; color: #616161;\"> Participaram da discuss\u00e3o deste problema os seguintes Clubes: <strong>Math Error;<span style=\" color: #8B8682;\"> OL\u00cdMPICOS FEDERAIS<\/span>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Um c\u00e3ozinho est\u00e1 a [tex]10\\,m[\/tex] de um bal\u00e3o pousado no solo. O c\u00e3o come\u00e7a a correr em dire\u00e7\u00e3o ao bal\u00e3o no mesmo instante em que este se desprende do solo e inicia uma ascens\u00e3o vertical. 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