Problema Noemi possui uma cole\u00e7\u00e3o de bolinhas de gude que est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex]. Ela decide separ\u00e1-las em duas caixas inicialmente vazias. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Como os m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] s\u00e3o [tex] 5 \\, , \\, 10 \\, , \\, 15,\\ldots \\, , \\, 2015 \\, [\/tex] e esses n\u00fameros podem ser escritos assim:<\/p>\n Logo, existem na caixa A<\/strong> [tex] \\, 403 \\, [\/tex] bolinhas cuja numera\u00e7\u00e3o \u00e9 m\u00faltipla de [tex]5[\/tex]. <\/p>\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r} Ent\u00e3o existem [tex] \\, 288 \\, [\/tex] bolinhas cuja numera\u00e7\u00e3o \u00e9 m\u00faltipla de [tex]7[\/tex] na caixa A<\/strong>. <\/li>\n<\/ul>\n N\u00e3o podemos simplesmente somar a quantidade de m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] com a quantidade de m\u00faltiplos de [tex]7[\/tex] para finalizar o problema, pois existem n\u00fameros que s\u00e3o simultaneamente m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] e de [tex]7[\/tex] e a\u00ed estar\u00edamos contando algumas bolinhas duas vezes. Vamos, ent\u00e3o, determinar a quantidade desses m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]5[\/tex] e de [tex]7[\/tex]. [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r} e existem, portanto, [tex]57[\/tex] n\u00fameros m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] e [tex]7[\/tex] simultaneamente de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n Pelo exposto, para a contagem da quantidade de bolas na caixa A<\/strong>, basta fazermos [tex]403+288-57=634[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nEm uma caixa A<\/strong> ela colocou as bolinhas com os n\u00fameros m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex] ou de [tex]7[\/tex] e em uma caixa B<\/strong> colocou o restante das bolinhas.
\nQuantas bolinhas de gude h\u00e1 na caixa B<\/strong>?<\/p>\n
\n\n
\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n2017 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 5 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\begin{array}{r}
\n 2
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n\\quad 403
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n
\n
\n2017 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 7 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\begin{array}{r}
\n 1
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n\\quad 288
\n\\end{array}[\/tex]
\nDessa forma, os m\u00faltiplos de [tex]7[\/tex] de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] s\u00e3o [tex]7 \\, , \\, 14 \\, , \\, 21 \\, , \\, \\ldots \\, ; \\, 2016 \\, [\/tex] e podem ser escritos assim:<\/p>\n\n
\n
\nPerceba que, como [tex]5[\/tex] e [tex]7[\/tex] s\u00e3o primos entre si, dizer que um n\u00famero \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] e [tex]7[\/tex] simultaneamente \u00e9 equivalente a dizer que o n\u00famero \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]35[\/tex]. Logo, basta analisar, agora, quantas bolinhas de gude possuem numera\u00e7\u00e3o m\u00faltipla de [tex]35.[\/tex] <\/p>\n\n
\n2017 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 35 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\begin{array}{r}
\n 22
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n\\quad 57
\n\\end{array}[\/tex]
\nent\u00e3o, os n\u00fameros m\u00faltiplos de [tex]35[\/tex] de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] s\u00e3o:[tex] \\, 35 \\, , \\, 70 \\, , \\, 105 \\, , \\, \\ldots \\, , \\, 1995[\/tex]. De outro modo, s\u00e3o os n\u00fameros <\/p>\n\n
\n
\nFinalmente, como existem [tex]634[\/tex] bolas na caixa A<\/strong>, na caixa B<\/strong> existir\u00e3o [tex]2017-634=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1383$} \\, [\/tex] bolas de gude.<\/p>\n
\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n