<\/p>\n
Problema Vamos chamar de fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias as fra\u00e7\u00f5es de numerador [tex]1[\/tex]. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/p>\n \n Afirma\u00e7\u00e3o:<\/strong> Toda express\u00e3o da forma [tex]\\dfrac{1}{n}[\/tex] pode ser, a princ\u00edpio, decomposta como [tex]\\dfrac{1}{n+k}+\\dfrac{1}{\\dfrac{n(n+k)}{k}}[\/tex]. Como temos duas fra\u00e7\u00f5es da forma [tex]\\dfrac{1}{n}[\/tex], vamos tentar escrev\u00ea-las como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias de modos diferentes, usando a decomposi\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{1}{n+k}+\\dfrac{1}{\\dfrac{n(n+k)}{k}}}[\/tex], para valores convenientes de [tex]k[\/tex], com [tex]k[\/tex] variando de [tex]1[\/tex] a [tex]n[\/tex]. e essas tr\u00eas s\u00e3o as \u00fanicas decomposi\u00e7\u00f5es que permitem escrever [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] como soma de exatamente duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: Math Error; Os Pitag\u00f3ricos<\/span><\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Vamos chamar de fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias as fra\u00e7\u00f5es de numerador [tex]1[\/tex]. Voc\u00ea sabia que toda fra\u00e7\u00e3o unit\u00e1ria pode ser desdobrada como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias? Por exemplo: A fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] pode ser escrita de uma forma como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias; a saber … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n
\n
\nVoc\u00ea sabia que toda fra\u00e7\u00e3o unit\u00e1ria pode ser desdobrada como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias? Por exemplo:
\nA fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] pode ser escrita de uma forma como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias; a saber [tex]\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{4}[\/tex];
\n
\nA fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] pode ser escrita de duas formas como soma de duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias; a saber [tex]\\dfrac{1}{3}=\\dfrac{1}{6}+\\dfrac{1}{6}[\/tex] ou [tex]\\dfrac{1}{3}=\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{12}[\/tex].
\n
\na) A fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] pode ser desdobrada de tr\u00eas maneiras diferentes. Mostre essas maneiras.<\/strong>
\n
\nb) A fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{8}[\/tex] pode ser desdobrada de quatro maneiras diferentes. Mostre essas maneiras.<\/strong>
\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n
\nPara resolver este problema, utilizaremos a afirma\u00e7\u00e3o abaixo. Em um primeiro momento, preocupe-se apenas em entender a afirma\u00e7\u00e3o; mas, em um segundo estudo, tente entender tamb\u00e9m a justificativa dessa afirma\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\nJustificativa:<\/strong> Com efeito, observe que
\n[tex]\\begin{align*}\\qquad \\dfrac{1}{n+k}+\\dfrac{1}{\\dfrac{n(n+k)}{k}}&=\\dfrac{1}{n+k}+\\dfrac{k}{n(n+k)}\\\\
\n&=\\dfrac{n}{n(n+k)}+\\dfrac{k}{n(n+k)}\\\\
\n& =\\dfrac{n+k}{n(n+k)}\\\\
\n&=\\dfrac{1}{n}~.\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\na) No caso [tex]n=4[\/tex], podemos tomar [tex]k=1,\\, 2,\\, 4[\/tex], e somente esses valores.<\/strong>
\nCom efeito, para que [tex] \\dfrac{1}{\\dfrac{4(4+k)}{k}}[\/tex] seja uma fra\u00e7\u00e3o positiva, [tex]\\dfrac{4(4+k)}{k}[\/tex] deve ser um n\u00famero natural; portanto todo divisor primo de [tex]k[\/tex] deve ser tamb\u00e9m divisor de [tex]4[\/tex]. Assim, [tex]2[\/tex] \u00e9 o \u00fanico divisor primo de [tex]k[\/tex] em [tex]\\mathbb{N}[\/tex] e, portanto, [tex]k[\/tex] \u00e9 da forma [tex]k=2^t[\/tex], com [tex]\\, t=0,\\, 1,\\, 2 .[\/tex]
\nCom isso:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{4+4}+\\dfrac{1}{\\dfrac{4(4+4)}{4}}[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{8}+\\dfrac{1}{8}}[\/tex];<\/li>\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{4+2}+\\dfrac{1}{\\dfrac{4(4+2)}{2}}[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{6}+\\dfrac{1}{12}}[\/tex];<\/li>\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{4+1}+\\dfrac{1}{\\dfrac{4(4+1)}{1}}[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{5}+\\dfrac{1}{20}}[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n
\nb) Para [tex]n=8[\/tex], podemos tomar [tex]k=1,\\, 2, \\, 4,\\, 8[\/tex] e somente esses valores<\/strong>; pois, para que [tex]\\dfrac{8(8+k)}{k}[\/tex] seja um n\u00famero natural, todo divisor primo de [tex]\\, k\\, [\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m divisor de [tex]8[\/tex]. Portanto [tex]k[\/tex] \u00e9 da forma [tex]k=2^t[\/tex], com [tex]\\, t=0,\\, 1,\\, 2,\\, 3[\/tex].
\nEfetuando c\u00e1lculos an\u00e1logos aos executados no item anterior, obtemos que
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{8}=\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{16}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{8}=\\dfrac{1}{12}+\\dfrac{1}{24}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{8}=\\dfrac{1}{10}+\\dfrac{1}{40}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{8}=\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{72}[\/tex]
\ns\u00e3o as \u00fanicas decomposi\u00e7\u00f5es que permitem escrever [tex]\\dfrac{1}{8}[\/tex] como soma de exatamente duas fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias.<\/span><\/p>\n
\n
\n <\/p>\n