{"id":102948,"date":"2018-05-17T20:57:54","date_gmt":"2018-05-17T23:57:54","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=102948"},"modified":"2023-04-30T02:48:30","modified_gmt":"2023-04-30T05:48:30","slug":"problemao-torneiras-enchendo-tanques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-torneiras-enchendo-tanques\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Torneiras enchendo tanques"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>UNICAMP<\/strong>-1993) Duas torneiras s\u00e3o abertas juntas: a primeira enchendo um tanque em [tex]5[\/tex] horas, a segunda enchendo outro tanque de igual volume em [tex]4[\/tex] horas.<br \/>\nNo fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras s\u00e3o abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] do volume que falta para encher o primeiro tanque?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n Consideremos [tex]v[\/tex] o volume total de cada tanque.<br \/>\nComo a primeira torneira enche um tanque em [tex]5[\/tex] horas ([tex]5\\times 60=300[\/tex] minutos) e  a segunda enche o outro tanque de igual volume em [tex]4[\/tex] horas ([tex]4\\times 60=240[\/tex] minutos), ent\u00e3o<\/p>\n<ul>\n<li>a primeira torneira possui vaz\u00e3o de [tex]\\dfrac{v}{300}[\/tex] litros por minuto<\/li>\n<li>a segunda torneira possui vaz\u00e3o de [tex]\\dfrac{v}{240}[\/tex] litros por minuto. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Sabemos que, decorridos [tex]t[\/tex] minutos do momento em que as torneiras foram abertas, o volume que falta para completar o segundo tanque \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] do que falta para completar o primeiro tanque; deste modo, temos que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\qquad v-\\dfrac{v}{240}\\cdot t=\\dfrac{1}{4}\\cdot \\left(v-\\dfrac{v}{300}\\cdot t \\right) \\, .[\/tex]<\/p>\n<p>Vamos, ent\u00e3o, resolver essa equa\u00e7\u00e3o para obtermos o tempo [tex]t[\/tex]:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad v-\\dfrac{v}{240}\\cdot t=\\dfrac{1}{4}\\cdot \\left(v-\\dfrac{v}{300}\\cdot t \\right)[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad v\\left(1-\\dfrac{t}{240}\\right)=\\dfrac{v}{4}\\cdot \\left(1-\\dfrac{t}{300}\\right) [\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad 4\\cdot \\left(1-\\dfrac{t}{240}\\right)=1-\\dfrac{t}{300} [\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad3=\\dfrac{t}{60}-\\dfrac{t}{300} [\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad 3=\\dfrac{4t}{300}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad  t=\\dfrac{900}{4} \\, [\/tex] minutos.<\/p>\n<p>Finalmente, perceba que<br \/>\n[tex]\\quad t=\\dfrac{900}{4}=225=3\\times 60+45[\/tex],<br \/>\nlogo, o tempo [tex]t[\/tex] solicitado no problema \u00e9 de [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3\\ h\\ e\\ 45\\ min$} \\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. 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