{"id":102690,"date":"2018-05-08T00:02:03","date_gmt":"2018-05-08T03:02:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=102690"},"modified":"2023-04-20T21:59:35","modified_gmt":"2023-04-21T00:59:35","slug":"probleminha-quanto-mede-o-angulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-quanto-mede-o-angulo\/","title":{"rendered":".Desafio: Quanto mede o \u00e2ngulo?"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNo tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] os \u00e2ngulos [tex]\\widehat{A}[\/tex] e [tex]\\widehat B[\/tex] medem [tex]60^\\circ[\/tex] e [tex]70^\\circ[\/tex], respectivamente. Os segmentos [tex]BD[\/tex] e [tex]CE[\/tex] s\u00e3o alturas do tri\u00e2ngulo. Quanto mede o \u00e2ngulo [tex]A\\widehat E D[\/tex]?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/Triangulo.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"283\" height=\"256\" class=\"aligncenter size-full wp-image-87451\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembretes <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(1)<\/strong> <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex].<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(2)<\/strong> <\/span> As tr\u00eas alturas de um tri\u00e2ngulo cortam-se num mesmo ponto (o ortocentro do tri\u00e2ngulo).<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(3)<\/strong> <\/span>  Se a soma dos \u00e2ngulos opostos de um quadril\u00e1tero \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex], ent\u00e3o este quadril\u00e1tero \u00e9 inscrit\u00edvel numa circunfer\u00eancia.<br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(4)<\/strong> <\/span>  Se dois \u00e2ngulos inscritos enxergam o mesmo arco de circunfer\u00eancia, ent\u00e3o eles s\u00e3o congruentes. (Para aprender mais sobre \u00e2ngulos centrais e inscritos, d\u00ea uma passadinha por esta Sala de Estudos: <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/brincando-com-geometria-angulo-central-e-angulo-inscrito1\/\" target=\"_blank\"><strong>Brincando com Geometria: \u00c2ngulo Central e \u00c2ngulo Inscrito<\/strong><\/a>.).<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nLeia com aten\u00e7\u00e3o as explica\u00e7\u00f5es de como obter as medidas que aparecem na figura abaixo.<\/p>\n<ul>\n<li>Pelo <strong>lembrete 1<\/strong>, temos que a medida do \u00e2ngulo [tex]\\hat{C}[\/tex] pode ser assim calculada: [tex]\\boxed{180^\\circ-\\textcolor{green}{70^\\circ}-\\textcolor{green}{60^\\circ}=\\textcolor{blue}{50^\\circ}}[\/tex].<\/li>\n<li> Tra\u00e7ando a altura do tri\u00e2ngulo relativa ao v\u00e9rtice [tex]A[\/tex], obtemos um ponto [tex]F[\/tex] sobre o lado [tex]\\overline{BC}[\/tex] tal que a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{F}C[\/tex] \u00e9 [tex]90^\\circ[\/tex]. Portanto, novamente pelo <strong>lembrete 1<\/strong>, temos que a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{A}F[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{180^\\circ-\\textcolor{blue}{90^\\circ}-\\textcolor{blue}{50^\\circ}=\\textcolor{red}{40^\\circ}}[\/tex].<\/li>\n<li>Agora, chamando o ortocentro do tri\u00e2ngulo de ponto [tex]O[\/tex] (<strong>lembrete 2<\/strong>), observe que o quadril\u00e1tero [tex]AEOD[\/tex] \u00e9 inscrit\u00edvel numa circunfer\u00eancia. Com efeito, pelo enunciado, os \u00e2ngulos opostos [tex]O\\hat{E}A[\/tex] e [tex]O\\hat{D}A[\/tex] s\u00e3o retos, logo somam [tex]180^\\circ[\/tex]. Pelo <strong>lembrete 3<\/strong>, existe uma circunfer\u00eancia que circunscreve o quadril\u00e1tero [tex]AEOD[\/tex].<br \/>\nMas aonde isto nos leva?<br \/>\n&#8211; Note que, nessa circunfer\u00eancia, os \u00e2ngulos inscritos [tex]O\\hat{E}D[\/tex] e [tex]O\\hat{A}D[\/tex] enxergam o mesmo arco [tex]\\stackrel{\\frown}{OD}[\/tex]. Logo, pelo <strong>lembrete 4<\/strong>, s\u00e3o congruentes.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/Bruno1.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"382\" height=\"324\" class=\"aligncenter size-full wp-image-103181\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/Bruno1.png 382w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/Bruno1-300x254.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 382px) 100vw, 382px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Com isso, se [tex]x[\/tex] \u00e9 a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]A\\hat E D[\/tex], analisando os \u00e2ngulos com v\u00e9rtices no ponto [tex]E[\/tex] que formam o \u00e2ngulo raso [tex]A\\hat E B[\/tex] , temos [tex]\\boxed{x=180^\\circ-\\textcolor{red}{40^\\circ}-\\textcolor{blue}{90^\\circ}=50^\\circ}\\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat E D[\/tex] \u00e9 [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$50^\\circ$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] os \u00e2ngulos [tex]\\widehat{A}[\/tex] e [tex]\\widehat B[\/tex] medem [tex]60^\\circ[\/tex] e [tex]70^\\circ[\/tex], respectivamente. Os segmentos [tex]BD[\/tex] e [tex]CE[\/tex] s\u00e3o alturas do tri\u00e2ngulo. Quanto mede o \u00e2ngulo [tex]A\\widehat E D[\/tex]? Lembretes (1) A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. (2) &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-quanto-mede-o-angulo\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-102690","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102690","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=102690"}],"version-history":[{"count":34,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102690\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187656,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102690\/revisions\/187656"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=102690"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}