{"id":102573,"date":"2018-05-07T12:08:24","date_gmt":"2018-05-07T15:08:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=102573"},"modified":"2023-04-20T22:01:47","modified_gmt":"2023-04-21T01:01:47","slug":"probleminha-fracoes-unitarias","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-fracoes-unitarias\/","title":{"rendered":".Probleminha: Fra\u00e7\u00f5es unit\u00e1rias"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>De quantas maneiras podemos escrever a fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] como soma de duas fra\u00e7\u00f5es pr\u00f3prias com numeradores iguais a [tex]1[\/tex] e com denominadores no conjunto dos n\u00fameros naturais?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Note que precisamos determinar todos os naturais [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] tais que<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{1}{2}=\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}[\/tex].<br \/>\nPerceba tamb\u00e9m que, se [tex]m \\gt 4[\/tex] <strong>e<\/strong> [tex]n \\gt 4[\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}\\lt \\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1}{2}.[\/tex]<br \/>\nCom isso podemos concluir que [tex]m[\/tex] <strong>ou <\/strong> [tex]n[\/tex] deve ser menor ou igual a [tex]4[\/tex].<br \/>\nSuponhamos que [tex]m \\le 4[\/tex] (o outro caso \u00e9 an\u00e1logo e leva \u00e0s mesmas solu\u00e7\u00f5es).<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]m=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{1}{2}[\/tex] e, portanto, [tex]n=-2.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]n[\/tex] \u00e9 natural, [tex]m=1[\/tex] n\u00e3o serve.<\/li>\n<li> Se [tex]m=2[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{1}{2} [\/tex] e, agora, obtemos [tex] \\dfrac{1}{n}=0.[\/tex]<br \/>\nComo a equa\u00e7\u00e3o obtida n\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o, a op\u00e7\u00e3o [tex]m=2[\/tex] tamb\u00e9m n\u00e3o serve.<\/li>\n<li> Se [tex]m=3[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{3}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{1}{2} [\/tex] donde [tex] n=6.[\/tex]<\/li>\n<li> Se [tex]m=4[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{1}{2}  [\/tex] donde [tex] n=4.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, a menos da ordem, temos duas op\u00e7\u00f5es para escrever [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] como soma de duas fra\u00e7\u00f5es com numeradores iguais a [tex]1[\/tex] e com denominadores no conjunto dos n\u00fameros naturais:<br \/>\n\t[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{1}{3}+\\dfrac{1}{6}$}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{4}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) De quantas maneiras podemos escrever a fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{2}[\/tex] como soma de duas fra\u00e7\u00f5es pr\u00f3prias com numeradores iguais a [tex]1[\/tex] e com denominadores no conjunto dos n\u00fameros naturais? Solu\u00e7\u00e3o Note que precisamos determinar todos os naturais [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] tais que [tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{1}{2}=\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}[\/tex]. Perceba tamb\u00e9m &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-fracoes-unitarias\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":667,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-102573","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102573","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/667"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=102573"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102573\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187658,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/102573\/revisions\/187658"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=102573"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}