\n
Problema [tex]\\qquad \\qquad \\left\\{ \\begin{array}{lll} x+y &=& 3 \\\\ x^3+y^3 & =& 18 \\end{array} \\right.[\/tex] .<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Determine as solu\u00e7\u00f5es reais do seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es: [tex]\\qquad \\qquad \\left\\{ \\begin{array}{lll} x+y &=& 3 \\\\ x^3+y^3 & =& 18 \\end{array} \\right.[\/tex] . Solu\u00e7\u00e3o Usando o produto not\u00e1vel “cubo perfeito” vemos que [tex]\\qquad \\qquad (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y),[\/tex] ou seja, [tex]\\qquad \\qquad (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Utilizando as equa\u00e7\u00f5es … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nDetermine as solu\u00e7\u00f5es reais do seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n
\n\tUsando o produto not\u00e1vel “cubo perfeito” vemos que
\n[tex]\\qquad \\qquad (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y),[\/tex]
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\qquad (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nUtilizando as equa\u00e7\u00f5es do sistema na identidade [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], obtemos que [tex] 3^3=18+9xy \\, [\/tex], donde [tex]xy=1.[\/tex]
\nDe [tex]x+y=3[\/tex] segue que [tex]\\boxed{y=3-x}[\/tex]; assim, substituindo essa rela\u00e7\u00e3o em [tex]\\boxed{xy=1}[\/tex] obtemos que
\n[tex]\\qquad 3x-x^2=1 [\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2-3x+1=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nNote que as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] s\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad x_1=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad x_2=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}[\/tex]
\ne, que a partir dessas solu\u00e7\u00f5es, obtemos respectivamente os valores
\n[tex]\\qquad \\qquad y_1=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad y_2=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}[\/tex],
\npara [tex]y[\/tex].
\nPortanto, as solu\u00e7\u00f5es para o sistema de equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, x=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}\\quad \\text{ e }\\quad y=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}$} \\, \\, [\/tex] ou [tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, x=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}\\quad \\text{ e }\\quad y=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}$} \\, \\, .[\/tex]<\/p>\n
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