{"id":101900,"date":"2018-04-23T17:32:03","date_gmt":"2018-04-23T20:32:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=101900"},"modified":"2024-04-08T06:48:45","modified_gmt":"2024-04-08T09:48:45","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-mais-uma-area-alaranjada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-mais-uma-area-alaranjada\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Mais uma \u00e1rea alaranjada"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Na figura, para cada n\u00famero natural [tex]n[\/tex], [tex]u_n[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea colorida abaixo da reta definida por [tex]y=\\frac{1}{2}x+5.[\/tex]
\n(a)<\/strong> Calcule [tex]u_n[\/tex], em fun\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex].
\n(b)<\/strong> Determine [tex]u_0[\/tex] e interprete geometricamente a regi\u00e3o que tem essa \u00e1rea.
\n(c)<\/strong> A sequ\u00eancia [tex]\\{u_0, \\, u_1, \\, u_2, \\, \\cdots \\, , \\, u_n \\, \\cdots \\, \\}[\/tex] \u00e9 uma PG<\/strong>? \u00c9 uma PA<\/strong>?<\/p>\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

(a)<\/strong> Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural.
\nConsidere a fun\u00e7\u00e3o [tex]f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x)=\\frac{1}{2}x+5[\/tex], cujo gr\u00e1fico \u00e9 a reta [tex]y=\\frac{1}{2}x+5[\/tex] destacada na figura mostrada no enunciado.<\/p>\n

\"\"\"\"<\/p>\n

\n

Dessa forma, fixadas uma unidade de comprimento e uma unidade de \u00e1rea, temos que [tex]u_n[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea de um trap\u00e9zio ret\u00e2ngulo de altura [tex]1[\/tex] e cujos comprimentos das bases menor e maior s\u00e3o, respectivamente, [tex]f(n)[\/tex] e [tex]f(n+1) \\, .[\/tex]
\nCom isso, sabendo que [tex]f(x)=\\frac{1}{2}x+5=\\dfrac{x+10}{2}[\/tex], segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{\\left(\\text{base maior} + \\text{base menor}\\right) \\times \\text{altura}}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{\\left(f(n+1) + f(n)\\right) \\times 1}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{f(n+1) + f(n)}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{\\dfrac{(n+1)+10}{2} + \\dfrac{n+10}{2}}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{n+1+10+n+10}{4}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad u_n=\\dfrac{2n+21}{4} \\, [\/tex] unidades de \u00e1rea.<\/p>\n

\n

Portanto, para um n\u00famero natural [tex]n[\/tex], temos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#fda}{$ u_n=\\dfrac{2n+21}{4}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

(b)<\/strong> Para [tex]n=0[\/tex], temos que [tex] \\, u_0=\\dfrac{0+21}{4} \\, [\/tex] e, assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#fda}{$ u_0=\\dfrac{21}{4}$} \\, [\/tex] unidades de \u00e1rea.
\nEssa \u00e9 a \u00e1rea do trap\u00e9zio ret\u00e2ngulo de altura [tex]1[\/tex] e cujos comprimentos das bases menor e maior s\u00e3o, respectivamente, [tex]f(0)=5[\/tex] e [tex]f(1)=\\dfrac{11}{2} \\, [\/tex]. Conforme mostrado na figura a seguir, esse trap\u00e9zio fica perfeitamente definido pela reta dada pela equa\u00e7\u00e3o [tex]y=\\frac{1}{2}x+5[\/tex], pelo eixo [tex]x[\/tex], pelo eixo [tex]y \\, [\/tex] e pela reta dada pela equa\u00e7\u00e3o [tex]y=1[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

(c)<\/strong> Vamos observar a sequ\u00eancia [tex]\\{u_0; \\, u_1; \\, u_2; \\, \\cdots \\, ; \\, u_n \\, ; \\, u_{n+1}; \\, \\cdots \\, \\}[\/tex]:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\{u_0=\\dfrac{21}{4}; \\, u_1=\\dfrac{23}{4}; \\, u_2=\\dfrac{25}{4}; \\, \\cdots \\, ; \\, u_n=\\dfrac{2n+21}{4}; \\, u_{n+1}=\\dfrac{2n+23}{4}; \\cdots \\, \\}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Perceba que:<\/p>\n