{"id":101875,"date":"2018-04-23T15:33:45","date_gmt":"2018-04-23T18:33:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=101875"},"modified":"2024-04-04T05:00:57","modified_gmt":"2024-04-04T08:00:57","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-cinco-letras","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-cinco-letras\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma igualdade com cinco letras"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nAs letras [tex]A[\/tex] , [tex]B[\/tex] , [tex]C[\/tex] , [tex]D[\/tex] , [tex]E[\/tex] correspondem a algarismos distintos e definem os n\u00fameros [tex]\\textcolor{red}{ABB} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{blue}{CBDEA} \\, [\/tex] que satisfazem a seguinte igualdade:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{red}{ABB}^2=\\textcolor{blue}{CBDEA}.[\/tex]<\/span><\/p>\n

Qual o valor de cada uma dessas cinco letras?
\n (Aqui, as nota\u00e7\u00f5es [tex]ABB[\/tex] e [tex]CBDEA[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim representa\u00e7\u00f5es de n\u00fameros no sistema decimal.)<\/span><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nComo [tex] \\textcolor{red}{ABB}^2=\\textcolor{blue}{CBDEA}[\/tex]<\/span>, observamos que a letra [tex]A[\/tex] corresponde ao algarismo das unidades do quadrado do n\u00famero [tex]ABB[\/tex], que \u00e9 o algarismo das unidades do quadrado do n\u00famero [tex]B.[\/tex]
\n Assim, temos as possibilidades mostradas na tabela a seguir.<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{|c|c|c|c|}
\n\\hline
\nB&B^2&A& \\\\
\n\\hline
\n0&0&0&ABB=000\\\\
\n\\hline
\n1&1&1&ABB=111 \\\\
\n\\hline
\n2&4&4&ABB=422 \\\\
\n\\hline
\n3&9&9&ABB=933 \\\\
\n\\hline
\n4&16&6&ABB=644 \\\\
\n\\hline
\n5&25&5&ABB=555 \\\\
\n\\hline
\n6&36&6&ABB=666\\\\
\n\\hline
\n7&49&9&ABB=977 \\\\
\n\\hline
\n8&64&4&ABB=488 \\\\
\n\\hline
\n9&81&1&ABB=199 \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n

Como letras distintas correspondem a algarismos distintos, descartamos as possibilidades [tex]B=0 \\, [\/tex] ; [tex] \\, B=1 \\, [\/tex] ; [tex] \\, B=5 \\, [\/tex] e [tex] \\, B=6.[\/tex]
\nPara os casos que restaram, calculemos [tex]{ABB}^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\nB&B^2&A&ABB& \\\\
\n\\hline
\n2&4&4&422&{ABB}^2=178084 \\\\
\n\\hline
\n3&9&9&933&{ABB}^2=870489 \\\\
\n\\hline
\n4&16&6&644&{ABB}^2=414736 \\\\
\n\\hline
\n7&49&9&977&{ABB}^2=954529 \\\\
\n\\hline
\n8&64&4&488&{ABB}^2=238144 \\\\
\n\\hline
\n9&81&1&199&{ABB}^2=39601 \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\n

Como [tex]{ABB}^2=CBDEA[\/tex], ent\u00e3o [tex]{ABB}^2[\/tex] deve ter exatamente cinco algarismos.
\nPortanto, [tex]{ABB}^2=39601[\/tex], donde [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=3$} \\, [\/tex], [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$B=9$} \\, [\/tex], [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D=6$} \\, [\/tex], [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=0$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=1$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Observe que nem precisar\u00edamos ter calculado [tex]{ABB}^2[\/tex] nos seis casos da segunda tabela para finalizarmos o problema. Bastaria observarmos que [tex] \\, 400^2=160000 \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero de seis d\u00edgitos, logo, para [tex]{ABB}\\gt 400[\/tex], ter\u00edamos [tex]{ABB}^2=CBDEA[\/tex] com mais de cinco d\u00edgitos e, ent\u00e3o, restaria apenas a possibilidade [tex]\\boxed{ABB=199} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-101875","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101875","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=101875"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101875\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":215606,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101875\/revisions\/215606"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=101875"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}