F\u00f3rmulas de De Moivre<\/p>\n
\n
\n
Dado um n\u00famero complexo escrito na forma alg\u00e9brica [tex]z=x+iy \\, [\/tex], podemos calcular a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima pot\u00eancia de [tex]z[\/tex] pela defini\u00e7\u00e3o, ou seja,
\n[tex]\\qquad \\qquad (x+iy)^n=\\underbrace{(x+iy)(x+iy)\\dots (x+iy)}_{n-vezes},[\/tex]
\ne tamb\u00e9m a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima raiz [tex]z[\/tex], ou seja, o n\u00famero complexo [tex]w=u+iv[\/tex], denotado por [tex]\\sqrt[n]{z}[\/tex], tal que
\n[tex]\\qquad \\qquad (u+iv)^n=x+yi=z[\/tex].
\nMas, quando [tex]n[\/tex] for grande, essas opera\u00e7\u00f5es podem ser muito trabalhosas!
\nEste problema pode ser contornado escrevendo o n\u00famero complexo [tex]z[\/tex] na forma trigonom\u00e9trica. Vejamos como fazer isso.
\nObserve a figura abaixo e perceba que [tex]x=\\rho \\cos \\theta[\/tex] e [tex]y=\\rho \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/04\/capture-20180418-160617.png\")
<\/p>\n
\n Assim, dado um n\u00famero complexo escrito na forma alg\u00e9brica [tex]z=x+iy[\/tex], existe um n\u00famero real positivo [tex]\\rho=\\sqrt{x^2+y^2}[\/tex], conhecido como m\u00f3dulo de [tex]z[\/tex], e um \u00e2ngulo [tex]\\theta[\/tex], conhecido como argumento de [tex]z[\/tex], tais que
\n[tex]\\qquad \\qquad x+iy=\\rho(\\cos \\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta).[\/tex]
\nEsta forma de se escrever n\u00fameros complexos \u00e9 conhecida como forma trigonom\u00e9trica.
\nVejamos agora como multiplicar n\u00fameros complexos utilizando a forma trigonom\u00e9trica, pois isso vai nos ajudar a obter mais facilmente a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima pot\u00eancia e a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima raiz de um dado n\u00famero complexo [tex]z[\/tex] ([tex]z^n[\/tex] e [tex]\\sqrt[n]{z}[\/tex], respectivamente).<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align*} z_1 z_2&=\\rho_1 \\rho_2(\\cos \\theta_1+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_1)(\\cos \\theta_2+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_2)\\\\
\n&=\\rho_1 \\rho_2[ \\cos \\theta_1 \\cos \\theta_2-\\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_1 \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_2+i(\\cos \\theta_1 \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_2 +\\cos \\theta_2 \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_1)] \\, .
\n\\end{align*}[\/tex]
\n(Lembre-se de que [tex]i^2=-1[\/tex], por defini\u00e7\u00e3o.) <\/span>
\nUsando as f\u00f3rmulas para o seno e o cosseno do arco soma obtemos, ainda:
\n[tex]\\qquad \\qquad z_1 z_2=\\rho_1 \\rho_2(\\cos (\\theta_1+\\theta_2)+i(\\, \\mathrm{sen} \\, (\\theta_1+\\theta_2))[\/tex],
\ne podemos, ent\u00e3o, observar que "multiplicar n\u00fameros complexos na forma trigonom\u00e9trica equivale a multiplicar seus m\u00f3dulos e adicionar os seus argumentos". E isso continua v\u00e1lido para a multiplica\u00e7\u00e3o de mais de dois n\u00fameros complexos.\n<\/div>\n
\n
[tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Assim, observe que se [tex]\\boxed{z=\\rho(\\cos \\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta)}[\/tex], podemos concluir que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$z^n=\\rho^n(\\cos n\\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, n\\theta)$} \\, .[\/tex] \n [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Por outro lado, uma [tex]n[\/tex]-\u00e9sima raiz de um n\u00famero complexo [tex]z=\\rho(\\cos \\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta)[\/tex], deve ser um n\u00famero complexo \n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" F\u00f3rmulas de De Moivre Dado um n\u00famero complexo escrito na forma alg\u00e9brica [tex]z=x+iy \\, [\/tex], podemos calcular a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima pot\u00eancia de [tex]z[\/tex] pela defini\u00e7\u00e3o, ou seja, [tex]\\qquad \\qquad (x+iy)^n=\\underbrace{(x+iy)(x+iy)\\dots (x+iy)}_{n-vezes},[\/tex] e tamb\u00e9m a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima raiz [tex]z[\/tex], ou seja, o n\u00famero complexo [tex]w=u+iv[\/tex], denotado por [tex]\\sqrt[n]{z}[\/tex], tal que [tex]\\qquad \\qquad (u+iv)^n=x+yi=z[\/tex]. Mas, quando [tex]n[\/tex] for grande, … <\/p>\n
\nEsta f\u00f3rmula \u00e9 conhecida como f\u00f3rmula de potencia\u00e7\u00e3o de De Moivre<\/strong><\/span> ou primeira f\u00f3rmula de De Moivre<\/strong><\/span>.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad w=\\rho_w(\\cos \\theta_w+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta_w)[\/tex]
\ntal que
\n[tex]\\qquad w^n=z=\\rho (\\cos \\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta)[\/tex].
\nMas
\n[tex]\\qquad w^n=\\rho_w^n (\\cos n\\theta_w+i \\, \\mathrm{sen} \\, n\\theta_w)[\/tex];
\nassim,
\n[tex]\\qquad \\rho_w^n=\\rho \\, [\/tex] e [tex] \\, n\\theta_w=\\theta[\/tex].
\n\u00c9 f\u00e1cil ver que [tex]\\rho_w=\\sqrt[n]{\\rho} \\, [\/tex] e que qualquer uma das [tex]n[\/tex] escolhas [tex]\\frac{\\theta}{n}, \\frac{\\theta+2\\pi}{n}\\dots,\\frac{\\theta+(n-1)2\\pi}{n}[\/tex] para [tex]\\theta_w[\/tex] verifica [tex]n\\theta_w=\\theta[\/tex].
\nPortanto, um n\u00famero complexo [tex]\\boxed{z=\\rho(\\cos \\theta+i \\, \\mathrm{sen} \\, \\theta)}[\/tex] possui muitas ra\u00edzes [tex]n[\/tex]-\u00e9simas, mais especificamente, possui [tex]n[\/tex] ra\u00edzes [tex]n[\/tex]-\u00e9simas, cada uma dada por
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\sqrt[n]{z}=\\sqrt[n]{\\rho}\\left(\\cos (\\frac{\\theta+2k\\pi}{n})+i \\, \\mathrm{sen} \\, (\\frac{\\theta+2k\\pi}{n}) \\right)$} \\, , \\qquad k=0, \\dots, n-1.[\/tex]
\nEsta f\u00f3rmula \u00e9 conhecida como f\u00f3rmula de radicia\u00e7\u00e3o de De Moivre<\/strong><\/span> ou segunda f\u00f3rmula de De Moivre<\/strong><\/span>.<\/p>\n